名古屋大学 1989年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

硬貨を $n$ 回続けて投げるとき，表が連続して出ることはない確率を $p_{n}$ とする．

(1) $p_{n}$ を $p_{k}$ $(k < n)$ を用いて表せ．ただし， $n ≧ 3$ とする．

(2) $p_{10}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

条件を満たす出方の個数を $a_{n}$ として数える。最後が裏なら前 $n - 1$ 回は任意の適合列、最後が表なら直前は裏で、その前 $n - 2$ 回が任意の適合列になる。これで $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ が出るので、 $p_{n} = a_{n} / 2^{n}$ に直して確率の漸化式を得る。

解答

【(1)】表が連続して出ない $n$ 回の出方の個数を $a_{n}$ とする。最後の1回で場合分けする。

最後が裏である場合、前の $n - 1$ 回は表が連続して出ない任意の出方でよい。したがって $a_{n - 1}$ 通りである。

最後が表である場合、直前は必ず裏でなければならない。したがって最後の2回は「裏、表」と決まり、その前の $n - 2$ 回は表が連続して出ない任意の出方でよい。したがって $a_{n - 2}$ 通りである。

よって $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n ≧ 3)$ である。全事象数は $2^{n}$ だから $p_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ である。これを用いると

p_{n} = \frac{a _{n - 1}}{2 ^{n}} + \frac{a _{n - 2}}{2 ^{n}} = \frac{1}{2} p_{n - 1} + \frac{1}{4} p_{n - 2} (n ≧ 3)

を得る。

【(2)】 $a_{1} = 2, a_{2} = 3$ である。漸化式 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ により

a_{3} = 5, a_{4} = 8, a_{5} = 13, a_{6} = 21, a_{7} = 34,

a_{8} = 55, a_{9} = 89, a_{10} = 144

である。したがって $p_{10} = \frac{a _{10}}{2 ^{10}} = \frac{144}{1024} = \frac{9}{64}$ である。

別解。 $a_{n}$ はフィボナッチ型の数列であり、 $a_{n}$ は通常のフィボナッチ数を1つずらしたものになる。したがって $a_{10} = 144$ を直接読んでもよいが、答案では上のように数段を書いて確認すると安全である。

名古屋大学 1989年度理系数学 第4問(a)

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名古屋大学 1989年度
理系数学第4問(a)