名古屋大学 1989年度理系数学第2問解答・解説

問題

空間に2点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ がある．その間の距離を2とし，中点を $O$ とする．次の条件(i)，(ii)を満たす点 $P$ 全体のなす立体の体積を求めよ．

(i) $O P ≧ r$ （ただし， $r$ は $22 ≦ r ≦ 3$ を満たす定数）

(ii) $P F_{1} + P F_{2} ≦ 6$

出典：名古屋大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

焦点を $(- 1, 0, 0)$ , $(1, 0, 0)$ に置くと、条件(ii)は長半径3、短半径 $22$ の回転楕円体になる。求める立体はこの楕円体のうち半径 $r$ の球の外側である。 $x$ で切った断面を見ると、 $∣ x ∣ < r$ では球の断面を引き、 $∣ x ∣ ≧ r$ では楕円体の断面全体が残るので、積分範囲を $x_{0}$ から $r$ 、 $r$ から3に分ける。

解答

座標を $F_{1} = (- 1, 0, 0), F_{2} = (1, 0, 0), O = (0, 0, 0)$ となるように取る。条件(ii) $P F_{1} + P F_{2} ≦ 6$ で表される立体は、焦点を $F_{1}, F_{2}$ とする回転楕円体である。長半径は $3$ 、焦点の中心からの距離は $1$ なので、短半径は $3^{2} - 1^{2} = 22$ である。したがって楕円体の方程式は $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2} + z ^{2}}{8} ≦ 1$ である。 $x$ を固定すると、この楕円体の断面は半径の2乗が $R_{E}^{2} = 8 (1 - \frac{x ^{2}}{9})$ である円になる。一方、球 $O P < r$ の断面は、 $∣ x ∣ < r$ のとき半径の2乗が $R_{B}^{2} = r^{2} - x^{2}$ である円になる。

まず、楕円体の断面が球の断面より外側に残り始める境目を求める。これは $8 (1 - \frac{x ^{2}}{9}) = r^{2} - x^{2}$ で与えられる。整理して $8 - r^{2} + \frac{x ^{2}}{9} = 0$ だから $x^{2} = 9 (r^{2} - 8)$ である。 $22 ≦ r ≦ 3$ より $x_{0} = 3 r^{2} - 8$ とおける。

対称性により $x ≧ 0$ の部分を2倍すればよい。 $x_{0} ≦ x ≦ r$ では楕円体の断面から球の断面を引いた円環が残り、 $r ≦ x ≦ 3$ では球の断面が存在しないので楕円体の断面全体が残る。したがって体積 $V$ は

V = 2 π \int_{x_{0}}^{r} {8 (1 - \frac{x ^{2}}{9}) - (r^{2} - x^{2})} d x + 2 π \int_{r}^{3} 8 (1 - \frac{x ^{2}}{9}) d x

である。

第1積分の中身は $8 - r^{2} + \frac{x ^{2}}{9}$ である。ここで $s = r^{2} - 8$ とおくと $x_{0} = 3 s$ である。まず

\int_{x_{0}}^{r} (8 - r^{2} + \frac{x ^{2}}{9}) d x = [(8 - r^{2}) x + \frac{x ^{3}}{27}]_{3 s}^{r} = 8 r - \frac{26}{27} r^{3} + 2 s^{3}

である。また

\int_{r}^{3} (8 - \frac{8 x ^{2}}{9}) d x = [8 x - \frac{8 x ^{3}}{27}]_{r}^{3} = 16 - 8 r + \frac{8}{27} r^{3}

である。したがって

V = 2 π {16 - \frac{2}{3} r^{3} + 2 s^{3}} = 4 π {8 - \frac{r ^{3}}{3} + (r^{2} - 8)^{3/2}}

となる。これが求める体積である。

なお、 $r = 3$ のときは右辺が $0$ となり、球が楕円体をすべて含む境界の場合と一致する。

名古屋大学 1989年度理系数学 第2問

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