問題
曲線と曲線がただ1つの点で交わり，その交点で共通の接線をもつものとする．
(1) をを用いて表せ．
(2) のとき，これらの曲線と軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
共通接点の 座標を と置き、関数値と微分係数の一致から を求める。さらに差 の2階微分が正であることから、接点以外で交わらないことも確認する。面積では のとき接点が 、対数曲線の 軸との交点が になるので、図形を2区間に分けて積分する。
解答
【(1)】共通接点の 座標を とする。対数が定義されるので である。接点で微分係数が等しいから である。したがって である。
また接点で関数値も等しいので である。上で得た より だから である。さらに なので である。よって である。
なお、この値のとき本当に交点は1つだけである。実際 とおくと であるから は下に沈まない形の関数であり、, より で最小値0をとる。したがって交点はこの1点だけである。
【(2)】 のとき である。したがって2曲線は である。対数曲線が 軸と交わる点は より である。
求める図形は、 では 軸と放物線に挟まれ、 では対数曲線と放物線に挟まれる。よって面積 は
である。これは
と書ける。
それぞれ計算すると であり、 だから
したがって
である。