名古屋大学 1988年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

1から順に7まで番号をつけた箱がある．1つの球を次の規則に従って1つの箱から他の箱に移す試行をくり返すものとする．球の入っている箱の番号を $a$ とし，サイコロを振って出た目の数を $b$ とする． $a > b$ ならば $a - 1$ 番の箱に移し， $a ≦ b$ ならば $a + 1$ 番の箱に移す．最初は4番の箱に球が入っている． $2 n$ 回（偶数回）の試行後，球が4番の箱に入っている確率を $p_{n}$ ，2番の箱に入っている確率を $q_{n}$ ，6番の箱に入っている確率を $r_{n}$ とする．

(1) $p_{1}$ ， $q_{1}$ ， $r_{1}$ を求めよ．

(2) $n ≧ 2$ に対して， $p_{n}$ ， $q_{n}$ ， $r_{n}$ を求めよ．

(3) $n \to \infty lim p_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

偶数回後には偶数番号の箱 $2, 4, 6$ だけを考えればよい。2回の試行を1組として、箱 $2, 4, 6$ の間の推移確率を計算する。左右対称性から常に $q_{n} = r_{n}$ なので、 $p_{n}$ だけの1次漸化式に落とし、定数解との差を取って解く。

解答

(1)

最初は4番の箱に球がある。1回目で3番へ移る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ であり、5番へ移る確率も $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

3番からは、出た目が1または2なら2番へ、それ以外なら4番へ移る。したがって $3 \to 2 の確率 \frac{1}{3}, 3 \to 4 の確率 \frac{2}{3}$ である。同様に、5番からは $5 \to 4 の確率 \frac{2}{3}, 5 \to 6 の確率 \frac{1}{3}$ である。

よって2回後について $p_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ であり、

q_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, r_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

である。したがって $p_{1} = \frac{2}{3}, q_{1} = \frac{1}{6}, r_{1} = \frac{1}{6}$ である。

(2)

2回を1組として、偶数番号の箱だけの推移を考える。

箱2から出発すると、1回後に1番へ移る確率は $\frac{1}{6}$ 、3番へ移る確率は $\frac{5}{6}$ である。1番からは必ず2番へ戻り、3番からは2番へ $\frac{1}{3}$ 、4番へ $\frac{2}{3}$ の確率で移る。よって

2 \to 2 : \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}, 2 \to 4 : \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{9}

である。

箱4から出発すると、3番へ $\frac{1}{2}$ 、5番へ $\frac{1}{2}$ の確率で移る。したがって

4 \to 2 : \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, 4 \to 4 : \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, 4 \to 6 : \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

である。

箱6から出発する場合は箱2から出発する場合と対称で、 $6 \to 4 : \frac{5}{9}, 6 \to 6 : \frac{4}{9}$ である。

左右対称性から、すべての $n$ について $q_{n} = r_{n}$ である。また $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ である。したがって

p_{n + 1} = \frac{5}{9} q_{n} + \frac{2}{3} p_{n} + \frac{5}{9} r_{n} = \frac{5}{9} (1 - p_{n}) + \frac{2}{3} p_{n} = \frac{5}{9} + \frac{1}{9} p_{n}

である。

この漸化式の一定値を $L$ とすると $L = \frac{5}{9} + \frac{1}{9} L$ より $L = \frac{5}{8}$ である。したがって $p_{n + 1} - \frac{5}{8} = \frac{1}{9} (p_{n} - \frac{5}{8})$ である。 $p_{0} = 1$ と見れば $p_{n} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} (\frac{1}{9})^{n}$ である。

よって

q_{n} = r_{n} = \frac{1 - p _{n}}{2} = \frac{3}{16} {1 - (\frac{1}{9})^{n}}

である。すなわち

p_{n} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} (\frac{1}{9})^{n}, q_{n} = r_{n} = \frac{3}{16} {1 - (\frac{1}{9})^{n}}

である。

(3)

(2)の式より $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{9})^{n} = 0$ だから $lim_{n \to \infty} p_{n} = \frac{5}{8}$ である。

名古屋大学 1988年度理系数学 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1988年度
理系数学第4問(b)