名古屋大学 1988年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$P=(x,y,z)$ とおく。点 $P$ は球面 $C$ 上にあるから $x^2+y^2+z^2=1$ である。

平面 $\alpha :y=1$ の法線は $y$ 軸方向であり、球面 $C$ の点 $P$ における接平面 $\beta$ の法線は $OP$ 方向である。したがって2つの法線のなす角が $a$ であることは $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\cos a$ を意味する。ただし $\angle AOP<\frac{\pi }{2}$ より $y>0$ なので、絶対値は不要である。球面上では $x^2+y^2+z^2=1$ だから $y=\cos a$ である。

よって $M$ は

を満たす点全体である。すなわち $M\text{ は平面 }y=\cos a\text{ 上の半径 }\sin a\text{ の円}$ である。

(2)

平面 $px+y-z+q-\cos a=0$ と $M$ の共有点を調べる。$M$ 上では $y=\cos a$ なので、平面の式は $px-z+q=0$ となる。したがって、$M$ と共有点をもつ条件は、$xz$ 平面内の円 $x^2+z^2={\sin }^{2}a$ と直線 $px-z+q=0$ が共有点をもつ条件である。

原点から直線 $px-z+q=0$ までの距離は $\frac{|q|}{\sqrt{p^2+1}}$ である。この距離が円の半径 $\sin a$ 以下であればよいから $\frac{|q|}{\sqrt{p^2+1}}\leqq \sin a$ である。すなわち $q^2\leqq (p^2+1){\sin }^{2}a$ が求める条件である。

点 $(p,q)$ の存在範囲は $-\sin a\sqrt{p^2+1}\leqq q\leqq \sin a\sqrt{p^2+1}$ で表される領域である。境界は $q^2=(p^2+1){\sin }^{2}a$ すなわち $\frac{q^2}{{\sin }^{2}a}-p^2=1$ であり、上下に開いた2本の曲線にはさまれる部分を含めた領域である。