問題
多項式はの範囲でを満たし，のグラフは原点に関して対称とする．正の数に対して，を軸方向に，軸方向にだけ平行移動して得られる曲線をとする．
(1) ととは2点，のみで交わり，しかも，の範囲でであることを証明せよ．
(2) ととで囲まれた図形の面積がつねにとなるをすべて求めよ．
方針
原点対称から は奇関数である。交点と上下関係は を作り、 と端点値 から示す。面積は で が上にあるので となり、奇関数性で に整理する。これが常に であることを微分して を決定する。
解答
(1)
グラフ が原点に関して対称であるから である。
まず における上下関係を示す。 とおく。このとき である。また では 、 なので である。したがって は で上に凸であり、両端で0だから、内部では である。すなわち である。奇関数性より なので であり、これは を意味する。
次に交点が2点だけであることを示す。 の式は であるから、交点は を満たす点である。すでに 、 は交点である。 では上で示した不等式より である。 では であり、 だから である。ここで より、 で が増加することを使った。
また では、奇関数の導関数 は偶関数であるから である。したがって より では である。
以上より交点は の2点だけである。
(2)
(1)より、 では が より上にある。したがって囲まれた図形の面積 は である。奇関数性より なので である。
これが常に であるから である。両辺を で微分すると すなわち である。よって であるから を得る。したがって であり、変数名を に戻すと である。
逆に は奇関数であり、 で を満たす。また である。したがって求める多項式は である。