問題
を正の定数とする．平面において，放物線は点を通り，軸と正または0で交わるとする．この放物線と軸の正の部分との交点をとし，不等式，を満たす部分の面積をとする．
(1) の動く範囲をを用いて表せ．
(2) を，を用いて表せ．
(3) を最小にする放物線をを用いて表せ．
出典：名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
正の 軸との交点を とし、 を通る条件と 軸との交点 から を で表す。 がそのまま の範囲を決める。面積は で積分して に直し、微分して が範囲に入るかどうか、つまり を境に場合分けする。
解答
(1)
放物線 は を通るので である。また を通るから である。第1式から であり、これを第2式に代入すると すなわち である。 なら を通ることになり と矛盾するので、 である。したがって である。
条件より 、また である。もし なら、分母は負、分子は正なので となり不適である。よって であり、このとき は と同値である。したがって である。
(2)
上で求めた と から である。求める面積は であるから である。ここに を代入して整理すると である。
(3)
(2)の式を で微分する。計算すると である。ここで 、 より なので、 の増減は の符号で決まる。
したがって は で減少し、 で増加する。ただし の範囲は である。 のときは なので、最小は右端 で生じる。このとき であるから、放物線は である。 のときは が範囲に入るので、そこで最小となる。このとき であり、放物線は である。
なお では両方の式が同じ を与える。