問題
を原点とする平面上の点と点（，は整数を動く）を考える．ただし3点，，は同一直線上にないものとする．
(1) ，を2辺とする平行四辺形の面積の最小値を求めよ．
(2) その最小値を与えるは2直線上にある．この2直線を求めよ．
(3) その最小値を与えるをすべて求めよ．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
平行四辺形の面積は、 と から と表せる。 が整数なのでこの値は整数であり、3点が同一直線上にない条件から0ではない。 と が互いに素であるため は実現でき、これが最小値になる。(2)では を出し、(3)ではそれぞれの1次不定方程式を合同式で解く。
解答
(1)
である。 と を2辺とする平行四辺形の面積は である。
ここで は整数なので、 は整数である。また3点 は同一直線上にないから、平行四辺形の面積は0ではない。したがって面積は正の整数である。
さらに と は互いに素であり、例えば とすれば となる。よって正の整数としての最小値 は実際に達成される。したがって最小値は である。
(2)
最小値を与える条件は である。点 の座標を と書けば、これは または を意味する。したがって求める2直線は である。
(3)
まず を解く。これを3で割った余りで見ると であり、 だから である。よって と書ける。ただし は整数である。このとき より である。したがって一方の直線上の点は である。
次に を解く。3で割った余りを見ると であり、 だから である。よって と書ける。このとき より である。
以上より、最小値を与えるすべての点 は である。ただし は任意の整数である。これらはいずれも を満たすので、3点が同一直線上にない条件も自動的に満たしている。