名古屋大学 1987年度理系数学第2問解答・解説

問題

原点 $O$ を中心とする半径1の円周の第1象限の部分を $C$ とする． $C$ 上を動く点 $P (cos θ, sin θ)$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ を考え，線分 $O P$ と $x$ 軸と曲線 $C$ とで囲まれたおうぎ形の面積を $S_{1} (θ)$ とし，点 $P$ を通り $C$ に接する直線と $y$ 軸と曲線 $C$ とで囲まれた部分の面積を $S_{2} (θ)$ とする． $S_{1} (θ)$ と $S_{2} (θ)$ の小さいほうの値を $S (θ)$ とおく． $θ = 0$ または $\frac{π}{2}$ のときは $S (0) = S (\frac{π}{2}) = 0$ とする．このとき，積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} S (θ) sin θ d θ$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

まず $S_{1} (θ)$ は半径1、中心角 $θ$ のおうぎ形だから $\frac{θ}{2}$ である。 $S_{2} (θ)$ は点 $(cos θ, sin θ)$ における接線 $x cos θ + y sin θ = 1$ と円弧との差を積分して求める。 $S_{2} - S_{1} = \frac{1}{2} cot θ - \frac{π}{4}$ となるので、大小が入れ替わる角 $α$ を $tan α = \frac{2}{π}$ で定め、 $[0, α]$ と $[α, \frac{π}{2}]$ に分けて積分する。

解答

半径1、中心角 $θ$ のおうぎ形だから

S_{1} (θ) = \frac{θ}{2} .

点 $P (cos θ, sin θ)$ における円の接線は $x cos θ + y sin θ = 1$ である。接線と円弧の間を積分すると

S_{2} (θ) = \int_{0}^{c o s θ} {\frac{1 - x cos θ}{sin θ} - 1 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} cot θ - \frac{π}{4} + \frac{θ}{2} .

したがって

S_{2} (θ) - S_{1} (θ) = \frac{1}{2} cot θ - \frac{π}{4} .

$cot θ$ は単調に減少する。 $tan α = \frac{2}{π}$ となる $0 < α < \frac{π}{2}$ をとれば

S (θ) = {\frac{θ}{2} \frac{1}{2} cot θ - \frac{π}{4} + \frac{θ}{2} (0 ≦ θ ≦ α), (α ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

である。求める積分を $I$ とすると

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} θ sin θ d θ + \frac{1}{2} \int_{α}^{π /2} cos θ d θ - \frac{π}{4} \int_{α}^{π /2} sin θ d θ = 1 - \frac{1}{2} sin α - \frac{π}{4} cos α .

ここで

sin α = \frac{2}{π ^{2} + 4}, cos α = \frac{π}{π ^{2} + 4}

だから

I = 1 - \frac{π ^{2} + 4}{4} .

したがって求める値は $1 - \frac{π ^{2} + 4}{4}$ である。

名古屋大学 1987年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 1987年度
理系数学第2問