問題
を正の数とし，2曲線との原点でない交点をとする．それぞれの曲線のにおける接線のなす角を とする．が正の数を動くとき，はどのような範囲を動くか．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
原点でない交点では なので、まず から交点の 座標を求める。次に2曲線の接線の傾きをそれぞれ計算し、 と置いて傾きを にそろえる。角の公式から となるので、その最大値と、、 の端の挙動を確認する。
解答
原点でない交点 では である。交点の条件は であり、両辺を で割ると である。したがって である。
まず の導関数は である。 を代入すると、この曲線の における接線の傾きは である。また の導関数は であるから、同じ点での傾きは である。
ここで とおくと、2本の接線の傾きはそれぞれ である。どちらも正の傾きなので、なす角 は を満たす。
この値の上限を求める。 に対して であるから である。等号は 、すなわち のときに成り立つ。
また なので であり、 または とすると である。したがって は近づくことはできるが、 では実際には起こらない。最大のときは だから である。よって求める範囲は である。