問題
，，を正の数とする．空間内で点，，，，，，，を頂点とする直方体をとする．の点から平面へ垂線を引き，その平面との交点をとする．がを動くとき，の動く範囲の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
の動く範囲は、直方体 を平面 に垂直に正射影した図形である。法線方向は なので、座標面に平行な3種類の面はいずれも射影で面積が 倍になる。直方体を法線方向から見ると、3方向の面の射影が を過不足なく埋めるため、 の寄与を足せばよい。座標を置く別解では、3本の辺の射影ベクトルが作る六角形の面積として同じ式を確認できる。
解答
点 から平面 へ垂線を下ろした点が であるから、 は直方体 のこの平面への正射影である。平面 の法線方向は であり、単位法線ベクトルは である。
直方体をこの法線方向から見ると、境界を作るのは座標面に平行な3種類の面である。 平面に平行な面の面積は であり、その面の法線方向は である。したがって正射影による面積の倍率は である。よってこの方向の面からの面積の寄与は である。
同じように、 平面に平行な面の面積は 、 平面に平行な面の面積は であり、いずれも射影倍率は である。したがってそれぞれの寄与は である。
これら3方向の射影は内部で重ならず、合わせて 全体を作る。したがって である。
別解。平面内の直交座標として を取る。直方体の3本の辺の射影ベクトルは
である。これら3方向の線分が作る六角形の面積は、2本ずつで作る平行四辺形の面積の和であり、順に
となる。よって同じく を得る。