問題
1辺の長さが1の正方形の頂点を時計まわりに，，，とする．硬貨を投げて，表ならば2，裏ならば1，時計まわりに周上を動く運動を考える．次の問に答えよ．
(1) から出発し，硬貨を10回投げたとき，，，，の位置に来る確率をそれぞれ求めよ．
(2) 君はから出発し，君はから出発するとし，それぞれ硬貨を10回ずつ投げたときに2人が同じ位置に来る確率を求めよ．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
表の回数を とすると、10回後の移動数は である。これを4で割った余りによって のどこにいるかを分類し、該当する の二項係数を足す。(2)では、出発点から見た移動量の分布を とおき、 君は最初に1つ先の から出発していることを反映して、独立な2つの分布をずらして掛け合わせる。
解答
(1)
表の出た回数を とする。10回中、裏は 回であるから、出発点からの全移動数は である。正方形の頂点は4つなので、移動数を4で割った余りが位置を決める。 はそれぞれ出発点 から時計まわりに だけ進んだ位置である。 だから、各位置に来る条件は
である。
全事象数は である。したがって
である。
(2)
出発点から見た移動先を、時計まわりに だけ進んだ位置として表す。その確率を
とおく。 君は から出発し、 君は から出発する。 君は最初から 君より時計まわりに1つ先にいるので、最終的に同じ位置にいるためには、 君の移動量が 君の移動量より時計まわりに1つ大きい必要がある。したがって求める確率は である。これを計算すると
よって求める確率は である。