名古屋大学 1986年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

$n = 0, 1, 2, \dots\dots$ に対して， $Z_{n} = (X_{n}, Y_{n})$ は整数を座標とする点の上を動くとし， $Z_{n}$ から $Z_{n + 1}$ への移動は，毎回，1，2，3，4の番号札の入っている箱から1つをとり，1ならば上へ，2ならば下に，3ならば左へ，4ならば右へ，1の長さを動くとする．原点から出発する．

(1) $S = X_{3}^{2} + Y_{3}^{2}$ とするとき，確率変数 $S$ の期待値 $E (S)$ を求めよ．

(2) $T_{n} = X_{n}^{2} + Y_{n}^{2}$ とするとき，確率変数 $T_{n}$ の期待値 $E (T_{n})$ が $n$ であることを示せ．

出典：名古屋大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

(1)は3回の移動を全 $4^{3}$ 通りで分類する。同方向3回なら距離 $3$ ，同方向2回とそれに垂直な1回なら距離 $5$ ，それ以外は距離 $1$ になるので，それぞれの通り数を数える。(2)は一回の移動ベクトル $(U, V)$ の平均が $0$ ，長さの二乗が $1$ であることを使い， $T_{n + 1}$ を展開して条件付きに期待値を取る。交差項が消える理由を明記する。

解答

(1)

3回の移動は各回4通りなので，全部で $4^{3} = 64$ 通りである。距離ごとに分類する。

3回とも同じ向きに進むと，原点からの距離は $3$ である。この場合は $4$ 通りである。

次に，2回が同じ向きで，残り1回がそれに垂直な向きの場合を考える。このとき移動後の座標は，向きを取り直せば $(2, 1)$ 型なので，距離は $5$ である。通り数は，同じ向きに進む方向が4通り，垂直な方向が2通り，垂直な1回を入れる位置が3通りなので $4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ 通りである。

残りの場合を確認する。2回が同じ向きで残り1回が反対向きなら距離は $1$ ，3回の向きが同じでなく，互いに打ち消す一組を含む場合も距離は $1$ ，三つの異なる方向に進む場合も合成すると距離は $1$ である。したがって残り $64 - 4 - 24 = 36$ 通りは距離 $1$ である。

よって

E (S) = \frac{4 \cdot 3 + 24 5 + 36 \cdot 1}{64} = \frac{3 ( 2 + 5 )}{8}

である。

(2)

$n$ 回目から $n + 1$ 回目への移動を $(U, V)$ とする。上，下，左，右が同じ確率で起こるので $E (U) = 0, E (V) = 0, U^{2} + V^{2} = 1$ である。 $Z_{n} = (X_{n}, Y_{n})$ とすると $T_{n + 1} = (X_{n} + U)^{2} + (Y_{n} + V)^{2}$ であるから，展開して $T_{n + 1} = T_{n} + 2 X_{n} U + 2 Y_{n} V + U^{2} + V^{2}$ となる。

ここで，次の移動 $(U, V)$ は現在位置 $Z_{n}$ とは独立であり， $E (U) = E (V) = 0$ である。したがって現在位置を固定して考えると $E (2 X_{n} U + 2 Y_{n} V) = 0$ であり，また $U^{2} + V^{2} = 1$ である。よって $E (T_{n + 1}) = E (T_{n}) + 1$ を得る。初めは原点なので $T_{0} = 0$ であるから，帰納法により $E (T_{n}) = n$ である。

別解。(2)は $n$ 回の移動ベクトルを $W_{1}, W_{2}, \dots, W_{n}$ と見ると， $Z_{n} = W_{1} + \dots + W_{n}$ である。 $T_{n}$ はこの和の長さの二乗なので，展開すると各 $W_{i}$ の長さの二乗が $n$ 個出る。異なる回どうしの内積は，向きの平均が $0$ であるため期待値が $0$ になる。したがって期待値は $n$ である。

名古屋大学 1986年度理系数学 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1986年度
理系数学第4問(b)