名古屋大学 1986年度理系数学第2問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ 上を2点 $P (p, p^{2})$ ， $Q (q, q^{2})$ $(p < q)$ が一定の距離 $l$ $(\overline{P Q} = l)$ を保ちながら動く．線分 $P Q$ とこの放物線とで囲まれた図形の面積を $S (p)$ とするとき，極限値 $p \to + \infty lim p^{3} S (p)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$h = q - p > 0$ と置く。弦 $P Q$ と放物線で囲まれる面積は，弦の式から放物線を引くと $(x - p) (q - x)$ になり， $h^{3} /6$ と出る。距離条件は $l^{2} = h^{2} {1 + (p + q)^{2}}$ であり， $p \to + \infty$ では $h \to 0$ ，さらに $p h \to l /2$ を導く。最後に $p^{3} S (p) = (p h)^{3} /6$ へ代入する。

解答

$h = q - p$ とおく。条件より $h > 0$ であり， $q = p + h$ である。

まず面積を求める。二点 $P (p, p^{2})$ ， $Q (q, q^{2})$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{q ^{2} - p ^{2}}{q - p} = p + q$ であるから，弦の式は $y - p^{2} = (p + q) (x - p)$ である。したがって，弦から放物線を引いた高さは $p^{2} + (p + q) (x - p) - x^{2} = - (x - p) (x - q) = (x - p) (q - x)$ である。よって $S (p) = \int_{p}^{q} (x - p) (q - x) d x$ となる。ここで $x = p + t$ とおくと $0 ≦ t ≦ h$ で

S (p) = \int_{0}^{h} t (h - t) d t = [\frac{h}{2} t^{2} - \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{h} = \frac{h ^{3}}{6}

である。

次に距離条件を使う。 $\overline{P Q} = l$ だから $l^{2} = (q - p)^{2} + (q^{2} - p^{2})^{2} = h^{2} {1 + (p + q)^{2}}$ である。 $p + q = 2 p + h$ なので $l^{2} = h^{2} {1 + (2 p + h)^{2}}$ となる。 $p \to + \infty$ で $h$ が正の下限をもつと左辺が無限大になってしまうため， $h \to 0$ である。さらに $h 1 + (2 p + h)^{2} = l$ であり， $2 p + h \to + \infty$ なので $h (2 p + h) \to l$ を得る。ここで $h \to 0$ だから $h^{2} \to 0$ であり， $2 p h + h^{2} \to l$ より $p h \to \frac{l}{2}$ である。

したがって $p^{3} S (p) = p^{3} \cdot \frac{h ^{3}}{6} = \frac{( p h ) ^{3}}{6}$ より $lim_{p \to + \infty} p^{3} S (p) = \frac{l ^{3}}{48}$ である。

名古屋大学 1986年度理系数学 第2問

問題

方針

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名古屋大学 1986年度
理系数学第2問