問題
空間内の点 を通り軸に平行な直線をとする．3点，，を頂点とする三角形の板を，を軸として1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
出典：名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
高さ で切ると，板上の線分は になる。 と置けば，線分は ，回転軸は である。外半径は常に左端 で生じ，内半径は なら軸に最も近い点が線分内にあるため ， なら右端で生じる。したがって と に分けて断面積を積分する。
解答
三角形の板は平面 上にあり， 平面で見ると頂点は である。高さ で切ると，対応する の範囲は である。
ここで とおくと， であり，切り口の線分は と書ける。回転軸は を満たす 軸に平行な直線なので，点 から軸までの距離の二乗は である。 であるから，この線分上で軸から最も遠い点は左端 である。よって外半径の二乗は である。
一方，内半径は場合で変わる。 のとき，軸に最も近い点は右端 であり，内半径の二乗は である。したがって断面積は となる。 のときは線分が を含むので，内半径は であり，断面積は である。
体積は で積分しても で積分しても同じで， より を から まで動かして断面積を積分すればよい。 のときは， と に分けて である。計算すると
である。 のときは，すべての で であるから である。 では二つの式はいずれも になり一致する。
よって求める体積は
である。