問題
(1) だ円を行列によって変換して得られる曲線の方程式を求めよ．
(2) (1)で得られた曲線上の点に対して，原点から出てを通る半直線上にを満たすように点をとる．がこの曲線上を動くときにが描く曲線の方程式を求めよ．ただし，は線分の長さを表す．
出典：名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)では変換後の座標を と置き，元の を で解いて楕円の式へ代入する。曲線は円になるので，平方完成まで行う。(2)では ， と置き， が同じ半直線上にあり を満たすことから と表す。これを(1)の円に代入して整理する。
解答
(1)
変換後の座標を とする。与えられた行列から である。これを について解くと となる。
元の楕円は であるから，代入して を得る。両辺を整理すると である。平方完成して となる。したがって，変換後に得られる曲線は中心 ，半径 の円である。
(2)
求める点を とし， とおく。 は原点から へ向かう半直線上にあり， である。 だから であり，方向は と同じなので と表される。
この点 が(1)の円 上にあるから である。展開すると であり， を用いて両辺に を掛けると を得る。したがって， が描く曲線の方程式は である。
別解。(2)は極座標でも確認できる。(1)の円上の点 を と書くと，円の式は である。対応する の距離を とすると なので， を代入し，さらに ， と戻せば，同じ式 が得られる。