名古屋大学 1986年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

$f (x)$ は $x ≧ 0$ で連続な増加関数で， $f (0) = 0$ ，かつ $x > 0$ で微分可能とする．グラフ $y = f (x)$ 上の点 $P (x, y)$ $(x > 0)$ から $x$ 軸， $y$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $Q$ ， $R$ とする． $y = f (x)$ と線分 $P Q$ および $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $F (x)$ ， $y = f (x)$ と線分 $P R$ および $y$ 軸とで囲まれた図形の面積を $G (x)$ とする．すべての $x > 0$ で， $G (x) = (x + 1) F (x)$ が成立するような $f (x)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

二つの面積を $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ， $G (x) = x f (x) - F (x)$ と表す。条件から $x f (x) = (x + 2) F (x)$ を得るが，ここで $F^{'} (x) = f (x)$ なので $x F^{'} (x) = (x + 2) F (x)$ という $F$ だけの関係になる。 $F / (x^{2} e^{x})$ の微分が $0$ であることから $F = C x^{2} e^{x}$ ，したがって $f = F^{'} = C x (x + 2) e^{x}$ を得る。最後に増加性と逆確認で定数の範囲を決める。

解答

$x > 0$ に対して $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ である。また， $0 ≦ t ≦ x$ の範囲で曲線の下の面積が $F (x)$ なので，長方形 $0 ≦ t ≦ x$ ， $0 ≦ y ≦ f (x)$ の面積から $F (x)$ を引けば $G (x)$ になる。したがって $G (x) = x f (x) - F (x)$ である。

条件 $G (x) = (x + 1) F (x)$ より $x f (x) - F (x) = (x + 1) F (x)$ であるから $x f (x) = (x + 2) F (x)$ を得る。ここで $F^{'} (x) = f (x)$ なので $x F^{'} (x) = (x + 2) F (x)$ である。

まず $F$ が恒等的に $0$ の場合は， $f (x) = F^{'} (x) = 0$ であり，これは条件を満たす。以下， $F$ が正になる場合を考える。上の式は $x F^{'} (x) - (x + 2) F (x) = 0$ である。ここで $H (x) = \frac{F ( x )}{x ^{2} e ^{x}}$ とおくと， $x > 0$ で $H^{'} (x) = \frac{x F ^{'} ( x ) - ( x + 2 ) F ( x )}{x ^{3} e ^{x}} = 0$ である。したがって $H (x)$ は定数であり，ある定数 $C$ を用いて $F (x) = C x^{2} e^{x}$ と書ける。

よって $f (x) = F^{'} (x) = C (2 x + x^{2}) e^{x} = C x (x + 2) e^{x}$ である。 $f (0) = 0$ はこの式で満たされる。また $x > 0$ で $f^{'} (x) = C (x^{2} + 4 x + 2) e^{x}$ であり， $x^{2} + 4 x + 2 > 0$ だから， $f$ が $x ≧ 0$ で増加関数であるためには $C ≧ 0$ が必要十分である。

逆に $C ≧ 0$ として $f (x) = C x (x + 2) e^{x}$ とおくと，連続性， $f (0) = 0$ ，増加性を満たす。また $F (x) = \int_{0}^{x} C t (t + 2) e^{t} d t = C x^{2} e^{x}$ であるから $x f (x) = C x^{2} (x + 2) e^{x} = (x + 2) F (x)$ が成り立つ。したがって $G (x) = x f (x) - F (x) = (x + 1) F (x)$ も成り立つ。

以上より，求める関数は $f (x) = C x (x + 2) e^{x} (C ≧ 0)$ である。なお「増加関数」を狭く，常に値が厳しく増える意味で用いるなら $C > 0$ とすればよい。

名古屋大学 1986年度理系数学 第4問(a)

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理系数学第4問(a)