九州大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C$ を，媒介変数 $t$ を用いて次のように定める。

x = 5 cos t + cos 5 t, y = 5 sin t - sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。

(1) 区間 $0 < t < \frac{π}{6}$ において， $\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0$ であることを示せ。

(2) 曲線 $C$ の $0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}$ の部分， $x$ 軸，直線 $y = \frac{1}{3} x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

(3) 曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称であることを示せ。また， $C$ 上の点を原点を中心として反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転させた点は $C$ 上にあることを示せ。

(4) 曲線 $C$ の概形を図示せよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1) は媒介変数表示を微分し， $0 < t < π /6$ で $t$ と $5 t$ がどの範囲にあるかを使って符号を判定する。(2) は曲線の端点がそれぞれ $x$ 軸上と直線 $y = x / 3$ 上にあることを確認し，境界の2本の線分が原点を通るため， $\frac{1}{2} \int (x d y - y d x)$ で面積を求める。計算の係数を落としやすいので， $x y^{'} - y x^{'}$ を丁寧に展開する。別解として，(1) の単調性を用いて曲線を上側境界と見なし，三角形の面積と $- \int y d x$ を足す方法も使える。(3)(4) は $t \mapsto - t$ による対称性と，加法定理による $t \mapsto t + π /3$ の回転対応から概形を作る。

解答

(1)

$\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t = - 5 (sin t + sin 5 t)$ である。 $0 < t < \frac{π}{6}$ では $0 < t < \frac{π}{6}, 0 < 5 t < \frac{5 π}{6} < π$ だから $sin t > 0$ ， $sin 5 t > 0$ である。よって $\frac{d x}{d t} < 0$ である。

また $\frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t = 5 (cos t - cos 5 t)$ である。 $0 < t < 5 t < π$ で， $cos x$ は $0 ≦ x ≦ π$ で減少するから $cos t > cos 5 t$ である。したがって $\frac{d y}{d t} > 0$ である。以上より $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} < 0$ が成り立つ。

(2)

端点を確認すると， $t = 0$ で $(x, y) = (6, 0)$ であり， $t = \frac{π}{6}$ で

x = 5 \cdot \frac{3}{2} + cos \frac{5 π}{6} = 23, y = 5 \cdot \frac{1}{2} - sin \frac{5 π}{6} = 2

である。この点は $y = \frac{1}{3} x$ 上にある。

求める図形の境界は，原点から $(6, 0)$ への $x$ 軸上の線分，曲線の $0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}$ の部分，および $(23, 2)$ から原点への直線上の線分である。原点を通る直線上では $x d y - y d x = 0$ であるから，面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t

で求められる。

ここで $x = 5 cos t + cos 5 t, y = 5 sin t - sin 5 t$ より $\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t, \frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t$ である。したがって

x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t} = (5 cos t + cos 5 t) (5 cos t - 5 cos 5 t) - (5 sin t - sin 5 t) (- 5 sin t - 5 sin 5 t) = 20 - 20 cos 6 t

である。よって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 20 (1 - cos 6 t) d t = 10 [t - \frac{sin 6 t}{6}]_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{5 π}{3}

である。

別解。

(1) より $0 < t < \frac{π}{6}$ では $x$ は減少し，この曲線部分を $x$ の関数のグラフとして見られる。求める面積は，原点， $(23, 2)$ ， $(6, 0)$ を結ぶ図形の面積なので，直線部分の三角形の面積と曲線下の面積を足せばよい。三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 2 = 23$ である。また $\int_{23}^{6} y d x = - \int_{0}^{\frac{π}{6}} y \frac{d x}{d t} d t$ であり， $- y \frac{d x}{d t} = 5 (5 sin t - sin 5 t) (sin t + sin 5 t)$ である。積和公式を用いて計算すると $- \int_{0}^{\frac{π}{6}} y \frac{d x}{d t} d t = \frac{5 π}{3} - 23$ となる。したがって $S = 23 + (\frac{5 π}{3} - 23) = \frac{5 π}{3}$ を得る。

(3)

$t$ を $- t$ に変えると $x (- t) = 5 cos t + cos 5 t = x (t)$ であり， $y (- t) = - 5 sin t + sin 5 t = - y (t)$ である。したがって， $C$ 上の点 $(x (t), y (t))$ に対して $(x (t), - y (t))$ も $C$ 上にある。よって $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

次に $X (t) = 5 cos t + cos 5 t$ ， $Y (t) = 5 sin t - sin 5 t$ とおく。加法定理より

X (t + \frac{π}{3}) Y (t + \frac{π}{3}) = X (t) cos \frac{π}{3} - Y (t) sin \frac{π}{3}, = X (t) sin \frac{π}{3} + Y (t) cos \frac{π}{3}

である。これは点 $(X (t), Y (t))$ を原点中心に反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点の座標である。 $t + \frac{π}{3}$ が与えられた範囲から外れる場合も，三角関数の周期により同じ点を範囲内の媒介変数で表せる。したがって，回転後の点も $C$ 上にある。

(4)

(3) より，曲線は $x$ 軸対称で，さらに原点中心の $6 0^{\circ}$ 回転で不変である。したがって，まず $0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}$ の部分を描けば，残りは対称移動と回転で得られる。

代表的な点は

t = 0 : (6, 0), t = \frac{π}{6} : (23, 2), t = \frac{π}{3} : (3, 33)

である。(1) より， $0 < t < \frac{π}{6}$ では曲線は右端 $(6, 0)$ から左上へ進み，傾きは負である。これを $x$ 軸対称にして $(23, 2)$ から $(3, 33)$ へ向かう部分を描き，さらに $6 0^{\circ}$ ずつ回転する。

したがって概形は，

(6, 0), (3, 33), (- 3, 33), (- 6, 0), (- 3, - 33), (3, - 33)

を外側の尖った点としてもち，各隣り合う点の間で内側にへこむ，6回対称の閉曲線である。

九州大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

(3)

(4)

九州大学 2022年度
理系数学第5問