九州大学 2022年度理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数， $α, β$ を相異なる実数とするとき，以下の問いに答えよ。

(1) 次をみたす実数 $A, B, C$ と整式 $Q (x)$ が存在することを示せ。

x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C

(2) (1)の $A, B, C$ を $n, α, β$ を用いて表せ。

(3) (2)の $A$ について， $n$ と $α$ を固定して， $β$ を $α$ に近づけたときの極限 $β \to α lim A$ を求めよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$(x - α) (x - β)^{2}$ で割った余りは2次以下であり， $1$ ， $x - α$ ， $(x - α) (x - β)$ を基準にすれば問題の形に表せる。係数 $A, B, C$ は， $x = α$ と $x = β$ の値を比較し，さらに $x = β$ が2重に現れることを利用して両辺を微分してから $x = β$ を代入すると決まる。最後の極限は $β = α + h$ とおき，2次の項まで二項定理で展開すればよい。別解として， $β^{n} - α^{n}$ の因数分解を使って極限を和の形で処理することもできる。

解答

(1)

整式 $x^{n}$ を $(x - α) (x - β)^{2}$ で割ると，商を $Q (x)$ ，余りを $R (x)$ として $x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + R (x)$ と表せる。ただし $R (x)$ は2次以下の整式である。

ここで $A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ も2次以下の整式である。 $α \neq = β$ なので， $A, B, C$ を適当に選べば任意の2次以下の余りをこの形で表せる。例えば最高次係数を $A$ で合わせ，次に1次係数を $B$ で合わせ，最後に定数項を $C$ で合わせればよい。したがって条件を満たす実数 $A, B, C$ と整式 $Q (x)$ が存在する。

(2)

(1) の等式に $x = α$ を代入すると， $x - α$ を含む項はすべて消えるので $C = α^{n}$ である。

次に $x = β$ を代入すると， $(x - β)$ を含む項は消え， $β^{n} = B (β - α) + C$ となる。よって $B = \frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α}$ である。

さらに両辺を $x$ で微分する。 $(x - α) (x - β)^{2} Q (x)$ の微分は， $x = β$ を代入すると各項に $(x - β)$ が残るため $0$ になる。また ${A (x - α) (x - β)}^{'} = A {(x - β) + (x - α)}$ であるから， $x = β$ では $A (β - α)$ となる。したがって $n β^{n - 1} = A (β - α) + B$ である。これに $B$ の値を代入して

A = \frac{n β ^{n - 1}}{β - α} - \frac{β ^{n} - α ^{n}}{( β - α ) ^{2}} = \frac{n β ^{n - 1} ( β - α ) - ( β ^{n} - α ^{n} )}{( β - α ) ^{2}}

を得る。

(3)

$β = α + h$ とおく。 $h \to 0$ が $β \to α$ に対応する。二項定理より，ある整式 $P (h), Q (h)$ を用いて

(α + h)^{n} = α^{n} + n α^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2} h^{2} + h^{3} P (h)

また $n (α + h)^{n - 1} h = n α^{n - 1} h + n (n - 1) α^{n - 2} h^{2} + h^{3} Q (h)$ と表せる。したがって (2) の $A$ の分子は，ある整式 $R (h)$ を用いて

{n (n - 1) - \frac{n ( n - 1 )}{2}} α^{n - 2} h^{2} + h^{3} R (h) = \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2} h^{2} + h^{3} R (h)

である。分母は $h^{2}$ だから， $h \to 0$ とすると $h R (h) \to 0$ であり $lim_{β \to α} A = \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}$ である。

別解。

(3) は因数分解でも求められる。

\frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α} = j = 0 \sum n - 1 β^{n - 1 - j} α^{j}

であるから

A = \frac{n β ^{n - 1} - \sum _{j = 0}^{n - 1} β ^{n - 1 - j} α ^{j}}{β - α} = j = 1 \sum n - 1 \frac{β ^{n - 1} - β ^{n - 1 - j} α ^{j}}{β - α}

となる。各項について

\frac{β ^{n - 1} - β ^{n - 1 - j} α ^{j}}{β - α} = β^{n - 1 - j} \frac{β ^{j} - α ^{j}}{β - α}

であり， $β \to α$ とすると右辺は $α^{n - 1 - j} \cdot j α^{j - 1} = j α^{n - 2}$ に近づく。よって

β \to α lim A = j = 1 \sum n - 1 j α^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}

である。

九州大学 2022年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解。

九州大学 2022年度
理系数学第2問