九州大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標空間内の5点

O (0, 0, 0), A (1, 1, 0), B (2, 1, 2), P (4, 0, - 1), Q (4, 0, 5)

を考える。3点 $O, A, B$ を通る平面を $α$ とし， $a = O A$ ， $b = O B$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $a, b$ の両方に垂直であり， $x$ 成分が正であるような，大きさが1のベクトル $n$ を求めよ。

(2) 平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $P^{'}$ の座標を求めよ。

(3) 点 $R$ が平面 $α$ 上を動くとき， $∣ P R ∣ + ∣ R Q ∣$ が最小となるような点 $R$ の座標を求めよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は $O A$ と $O B$ に垂直なベクトルを成分で置き，内積の連立条件から単位法線ベクトルを決める。(2) はその法線ベクトルを用いて，点 $P$ の平面 $α$ に垂直な成分を取り除き，さらに同じ長さだけ反対側へ移して対称点を求める。(3) は平面での反射を用いた最短経路の問題で， $P$ を対称点 $P^{'}$ に移すと $∣ P R ∣ = ∣ P^{'} R ∣$ となるので，最小化は直線 $P^{'} Q$ と平面 $α$ の交点を求める問題に帰着する。

解答

(1)

$a = (1, 1, 0), b = (2, 1, 2)$ である。 $a, b$ の両方に垂直なベクトルを $(u, v, w)$ とおくと $u + v = 0, 2 u + v + 2 w = 0$ である。第1式から $v = - u$ ，これを第2式に代入して $u + 2 w = 0, w = - \frac{u}{2}$ を得る。したがって法線方向は $(1, - 1, - \frac{1}{2})$ である。大きさは $\frac{3}{2}$ なので， $x$ 成分が正の単位ベクトルは $n = (\frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{3})$ である。

(2)

平面 $α$ は原点を通り，法線ベクトルとして $(2, - 2, - 1)$ をもつから $2 x - 2 y - z = 0$ で表される。点 $P (4, 0, - 1)$ について $2 \cdot 4 - 2 \cdot 0 - (- 1) = 9$ であり， $(2, - 2, - 1)$ の大きさは $3$ である。したがって $P$ は平面から， $n$ の向きに距離 $3$ だけ離れている。

よって垂線の足を $H$ とすると

H = P - 3 n = (4, 0, - 1) - 3 (\frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}) = (2, 2, 0)

である。対称点 $P^{'}$ は $H$ を中点として $P$ の反対側にあるから $P^{'} = 2 H - P = (0, 4, 1)$ である。

(3)

$P^{'}$ は $P$ を平面 $α$ に関して対称移動した点である。 $R$ が平面 $α$ 上にあるとき，平面に関する対称性から $∣ P R ∣ = ∣ P^{'} R ∣$ である。したがって

∣ P R ∣ + ∣ R Q ∣ = ∣ P^{'} R ∣ + ∣ R Q ∣

であり，これは点 $P^{'}$ から $R$ を通って $Q$ へ行く折れ線の長さである。三角不等式より，この長さは直線 $P^{'} Q$ 上に $R$ があるとき最小になる。よって求める $R$ は直線 $P^{'} Q$ と平面 $α$ の交点である。 $P^{'} = (0, 4, 1)$ ， $Q = (4, 0, 5)$ だから，直線 $P^{'} Q$ 上の点を $P^{'} + λ (Q - P^{'}) = (4 λ, 4 - 4 λ, 1 + 4 λ)$ とおく。これを平面 $2 x - 2 y - z = 0$ に代入すると $2 (4 λ) - 2 (4 - 4 λ) - (1 + 4 λ) = 0$ すなわち $12 λ - 9 = 0$ である。したがって $λ = \frac{3}{4}$ であり， $R = (3, 1, 4)$ を得る。

九州大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2022年度
理系数学第1問