九州大学 2022年度理系数学第4問解答・解説

問題

定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で連続な関数 $f (x)$ に対して， $F^{'} (x) = f (x)$ となる関数 $F (x)$ を1つ選び， $f (x)$ の $a$ から $b$ までの定積分を

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \dots\dots (1)

で定義する。定積分の値は $F (x)$ の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質(A)，(B)，(C)をもつ。

(A) $\int_{a}^{b} {k f (x) + l g (x)} d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x + l \int_{a}^{b} g (x) d x$

(B) $a ≦ c ≦ b$ のとき， $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

ただし， $f (x), g (x), h (x)$ は区間 $a ≦ x ≦ b$ で連続な関数， $k, l$ は定数である。
以下， $f (x)$ を区間 $0 ≦ x ≦ 1$ で連続な増加関数とし， $n$ を自然数とする。定積分の性質　[　ア　]　を用い，定数関数に対する定積分の計算を行うと，

\frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) ≦ \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} f (\frac{i}{n}) (i = 1, 2, \dots, n) \dots\dots (2)

が成り立つことがわかる。 $S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i - 1}{n})$ とおくと，不等式(2)と定積分の性質　[　イ　]　より次の不等式が成り立つ。

0 ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} ≦ \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} \dots\dots (3)

よって，はさみうちの原理より $n \to \infty lim S_{n} = \int_{0}^{1} f (x) d x$ が成り立つ。

(1) 関数 $F (x), G (x)$ が微分可能であるとき，

{F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)

が成り立つことを，導関数の定義に従って示せ。また，この等式と定積分の定義(1)を用いて，定積分の性質(A)で $k = l = 1$ とした場合の等式

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

を示せ。

(2) 定積分の定義(1)と平均値の定理を用いて，次を示せ。
$a < b$ のとき，区間 $a ≦ x ≦ b$ において $g (x) > 0$ ならば， $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$

(3) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　ア　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式(2)を示せ。

(4) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　イ　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また，不等式(3)を示せ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

理系版では，まず導関数の定義から和の微分公式を示す必要がある。その後は定積分の定義に戻り， $F + G$ が $f + g$ の原始関数であることを利用して性質(A)の特別な場合を証明する。(2) は原始関数に平均値の定理を適用し， $G (b) - G (a) = g (c) (b - a)$ と表す。(3)(4) は文中の区分求積の証明で，増加関数を小区間の端点値で挟み，性質(C)で積分評価にし，最後に性質(B)で全区間の積分へつなげる。

解答

(1)

導関数の定義に従うと

{F + G}^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{{ F ( x + h ) + G ( x + h )} - { F ( x ) + G ( x )}}{h} = h \to 0 lim {\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} + \frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}} = F^{'} (x) + G^{'} (x)

である。

次に $F^{'} (x) = f (x)$ ， $G^{'} (x) = g (x)$ とする。上で示した等式より ${F (x) + G (x)}^{'} = f (x) + g (x)$ であるから， $F + G$ は $f + g$ の原始関数である。したがって定積分の定義から

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = {F (b) + G (b)} - {F (a) + G (a)} = {F (b) - F (a)} + {G (b) - G (a)} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

を得る。

(2)

$G^{'} (x) = g (x)$ となる関数 $G (x)$ を取る。 $G$ は $[a, b]$ で連続， $(a, b)$ で微分可能であるから，平均値の定理により，ある $c (a < c < b)$ が存在して $G (b) - G (a) = G^{'} (c) (b - a)$ が成り立つ。ここで $G^{'} (c) = g (c) > 0$ であり， $a < b$ より $b - a > 0$ である。したがって $\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a) = g (c) (b - a) > 0$ である。

(3)

空欄 [ア] に入るのは $(C)$ である。 $f$ は増加関数なので， $\frac{i - 1}{n} ≦ x ≦ \frac{i}{n}$ では $f (\frac{i - 1}{n}) ≦ f (x) ≦ f (\frac{i}{n})$ である。左右は定数関数であり，定数 $c$ に対して

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} c d x = c (\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n}) = \frac{c}{n}

である。性質(C)を用いれば

\frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) ≦ \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} f (\frac{i}{n})

となり，不等式(2)が示される。

(4)

空欄 [イ] に入るのは $(B)$ である。

(2) の不等式を $i = 1, 2, \dots, n$ で足し合わせる。性質(B)により

i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x

であるから

S_{n} ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i}{n})

を得る。したがって左側の不等式から $0 ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n}$ である。また右側の不等式から

\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} ≦ \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i}{n}) - \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i - 1}{n})

である。右辺は望遠和になり，

\frac{1}{n} i = 1 \sum n {f (\frac{i}{n}) - f (\frac{i - 1}{n})} = \frac{1}{n} {f (1) - f (0)}

である。よって $0 ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} ≦ \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}$ が成り立つ。

九州大学 2022年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2022年度
理系数学第4問