問題
自然数が
をみたすとき，以下の問いに答えよ。
(1) は互いに素な整数であることを示せ。
(2) は168の倍数であることを示せ。
(3) (1)をみたす自然数の組を1つ求めよ。
出典：九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
まず式の偶奇から が奇数であることを確認し， と が整数で差 であることから互いに素と分かる。次に が ，， のそれぞれで割り切れることを合同式で示し，互いに素な積として の倍数を得る。最後はこの条件を使って具体例を探す。 を の適当な倍数にし， が平方数になるものを作ればよい。
解答
(1)
与式 の右辺は奇数である。したがって は奇数であり， も奇数である。よって も奇数なので はいずれも整数である。
この2つの整数の差は である。差が の2整数に共通の正の約数があるとすれば，その約数は も割り切る。したがって2つの整数は互いに素である。
(2)
まず は奇数だから，奇数の平方は で割って 余る。したがって であり， は の倍数である。
次に，もとの式を で考えると， は の倍数なので である。もし なら左辺は になって矛盾する。よって であり，平方数の余りから となる。したがって は の倍数である。
同様に で考えると である。 で割った平方数の余りは のいずれかであり，このうちさらに2乗して になるものは だけである。よって であり， は の倍数である。 は互いに素であるから， は の倍数である。
(3)
(2) より は の倍数である。具体例を作るため， と取ってみると となるので が候補になる。このとき
である。計算すると であるから， とすれば が成り立つ。したがって条件を満たす自然数の組の一つは である。