問題
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数，がをみたすとき，であることを示せ。
(2) を素数とする。をみたす自然数の組でとなるものをすべて求めよ。
出典：九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
(1)は が から の範囲では少なくとも 以上であることを示し、 から を使う。(2)では端の を先に処理する。中央範囲では (1) により となるが、恒等式 を使うと、素数 が を割る必要があり、値の大きさと矛盾する。
解答
(1)
であるから、特に である。
まず組合せ数の隣り合う比を考えると である。したがって は が端から中央へ近づくまでは増加し、その後は対称性 により同じ値を戻る。よって の範囲での最小値は端の である。
したがって である。 なので であり、結局 が成り立つ。
(2)
まず端の場合を調べる。 のとき であるから、 となるのは のときである。したがって は解である。 のときも であるから は解である。 のときは なので、素数 にはならない。
残りとして を考える。このとき (1) より、もし なら である。
一方、組合せ数には という恒等式がある。ここに を代入すると である。 なので は を割らない。したがって素数 は を割らなければならない。
しかし であり、 だから である。正の整数で より小さい数が で割り切れることはない。これは矛盾である。
したがって中央範囲には解はない。求める組は である。ただし のときはこの2つは同じ組 である。