九州大学 2021年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

二次方程式 $x^2-(4\cos \theta )x+\frac{1}{\tan \theta }=0$ の判別式を $D$ とすると

である。実数解をもたない条件は $D<0$ だから $16{\cos }^2\theta <\frac{4}{\tan \theta }$ である。$0<\theta <\frac{\pi }{4}$ では $\sin \theta >0,\cos \theta >0$ なので、両辺を整理して $4\sin \theta \cos \theta <1$ すなわち $2\sin 2\theta <1$ を得る。ここで $0<2\theta <\frac{\pi }{2}$ であるから $\sin 2\theta <\frac{1}{2}$ は $0<2\theta <\frac{\pi }{6}$ と同値である。したがって求める範囲は $0<\theta <\frac{\pi }{12}$ である。

(2)

$\theta$ は(1)の範囲にあるので、2つの解 $\alpha ,\beta$ は互いに共役な虚数である。よって $\alpha +\beta =4\cos \theta$ から、$\alpha$ の実部は $\frac{\alpha +\beta }{2}=2\cos \theta$ である。また $\alpha \beta =\frac{1}{\tan \theta }$ であり、共役複素数の積は絶対値の2乗だから $|\alpha {|}^2=\frac{1}{\tan \theta }$ である。

3点 $A(\alpha ),B(\beta ),O(0)$ を通る円は、共役な2点 $A,B$ に関して実軸対称である。したがってその中心 $C(\gamma )$ は実軸上にあり、$\gamma$ は実数である。

円の中心から $O$ と $A$ までの距離が等しいので $|\gamma {|}^2=|\alpha -\gamma {|}^2$ である。$\gamma$ は実数だから、$\alpha$ の実部を用いて ${\gamma }^2=|\alpha {|}^2-2\gamma \mathrm{Re}\alpha +{\gamma }^2$ となる。よって $2\gamma \mathrm{Re}\alpha =|\alpha {|}^2$ であり、$2\gamma \cdot 2\cos \theta =\frac{1}{\tan \theta }$ である。したがって $\gamma =\frac{1}{4\cos \theta \tan \theta }=\frac{1}{4\sin \theta }$ である。

(3)

点 $O$ と点 $A$ は、中心 $C$ の円周上にあるので $CO=CA$ である。したがって三角形 $OAC$ は $C$ を頂点とする二等辺三角形である。$A$ は虚数点で実軸上にないため、直角が $O$ や $A$ に来ることはなく、直角三角形になるなら直角は $C$ にある。 $C$ で直角になる条件は、実軸上の線分 $CO$ と $CA$ が垂直になることである。$O=0$, $C=\gamma$, $\mathrm{Re}\alpha =2\cos \theta$ より、この条件は $\mathrm{Re}\alpha =\gamma$ ではなく、$C$ から見た $A$ の横方向の成分が0になること、すなわち $2\cos \theta -\gamma =0$ である。よって $\gamma =2\cos \theta$ である。

(2)の結果を代入すると $\frac{1}{4\sin \theta }=2\cos \theta$ となる。したがって $8\sin \theta \cos \theta =1$ すなわち $\sin 2\theta =\frac{1}{4}$ である。 $u=\tan \theta$ とおくと $\sin 2\theta =\frac{2u}{1+u^2}$ だから $\frac{2u}{1+u^2}=\frac{1}{4}$ である。整理して $u^2-8u+1=0$ となり、$u=4\pm \sqrt{15}$ を得る。$0<\theta <\frac{\pi }{12}$ より $0<u<1$ であるから $\tan \theta =4-\sqrt{15}$ である。