九州大学 2021年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

条件(＊)は、すべての実数 $t$ に対して $y\leqq e^t-xt$ が成り立つということである。したがって、固定した $x$ に対して $e^t-xt$ の最小値を調べ、その最小値以下の $y$ が許される。

まず $x>0$ とする。 $\varphi (t)=e^t-xt$ とおくと ${\varphi }^{\prime }(t)=e^t-x$ である。よって ${\varphi }^{\prime }(t)=0$ となるのは $t=\log x$ である。また ${\varphi }^{\prime \prime }(t)=e^t>0$ なので、ここで最小となる。最小値は $\varphi (\log x)=x-x\log x=x(1-\log x)$ である。したがって $x>0$ では $y\leqq x(1-\log x)$ が条件である。

次に $x=0$ のとき、条件は $y\leqq e^t(すべての実数t)$ である。$e^t>0$ であり、$t\to -\infty$ で $e^t\to 0$ だから、これは $y\leqq 0$ と同値である。

最後に $x<0$ のとき、$t\to -\infty$ とすると $e^t-xt\to -\infty$ である。したがってどのような実数 $y$ も、すべての $t$ に対して $y\leqq e^t-xt$ をみたすことはできない。

以上より、求める集合は $x>0,y\leqq x(1-\log x)$ と $x=0,y\leqq 0$ からなる。図示すれば、曲線 $y=x(1-\log x)$ の下側に、原点から下向きの $y$ 軸上の半直線を加えた領域である。

(2)

集合 $S$ ではさらに $x\geqq 1,y\geqq 0$ をみたす。上端は $y=x(1-\log x)$ であるから、$y\geqq 0$ となるには $1-\log x\geqq 0$ すなわち $x\leqq e$ が必要である。よって $S$ は $1\leqq x\leqq e,0\leqq y\leqq x(1-\log x)$ で表される。

これを $x$ 軸のまわりに1回転させるので、体積は

である。

積分を計算する。部分積分を用いると

である。したがって

$=\frac{2e^3}{27}-\frac{17}{27}=\frac{2e^3-17}{27}$ である。よって求める体積は $\frac{\pi }{27}(2e^3-17)$ である。