問題
座標空間内の4点，，，を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 四面体に内接する球の中心の座標を求めよ。
(2) 中心の座標，座標，座標がすべて正の実数であり，平面，平面，平面のすべてと接する球を考える。この球が平面と交わるとき，その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ。
出典：九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
座標平面 にすべて接する球は、中心座標がすべて半径に等しいので中心を と置ける。平面 は であり、(1)ではこの平面までの距離が になる条件を解く。(2)では同じ中心・半径の球と平面 の距離 から、断面円の半径の2乗 を作り、二次関数として最大化する。交わる条件 も最大点で確認する。
解答
(1)
点 , , を通る平面 は、切片の形から すなわち である。
四面体 の内接球は3つの座標平面 に接する。したがって中心を とおけば、半径も である。さらに平面 にも接するので、点 と平面 の距離が に等しい。
内接球の中心は四面体の内部にあるから であり、 すなわち である。よって である。求める中心は である。
(2)
球の中心の3つの座標が正で、3つの座標平面にすべて接するので、中心を とおくと半径は である。
中心 から平面 までの距離を とすると である。球と平面が交わってできる円の半径を とすると、直角三角形から である。したがって である。
この二次関数は と平方完成できる。よって は のとき最大となり、その最大値は である。このとき であり、確かに平面と交わる。したがって断面円の面積の最大値は である。