九州大学 2021年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

自然数 $n$ と実数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ $(a_{n} \neq = 0)$ に対して，2つの整式

f (x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots\dots + a_{1} x + a_{0}

f^{'} (x) = k = 1 \sum n k a_{k} x^{k - 1} = n a_{n} x^{n - 1} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots\dots + a_{1}

を考える。 $α$ ， $β$ を異なる複素数とする。複素平面上の2点 $α$ ， $β$ を結ぶ線分上にある点 $γ$ で，

\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = f^{'} (γ)

をみたすものが存在するとき，

α, β, f (x) は平均値の性質をもつ

ということにする。以下の問いに答えよ。ただし， $i$ は虚数単位とする。

(1) $n = 2$ のとき，どのような $α$ ， $β$ ， $f (x)$ も平均値の性質をもつことを示せ。

(2) $α = 1 - i$ ， $β = 1 + i$ ， $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が平均値の性質をもつための，実数 $a, b, c$ に関する必要十分条件を求めよ。

(3) $α = \frac{1 - i}{2}$ ， $β = \frac{1 + i}{2}$ ， $f (x) = x^{7}$ は，平均値の性質をもたないことを示せ。

出典：九州大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は2次式について差商を直接計算し、線分の中点で導関数と一致することを示す。(2)では線分 $1 - i$ から $1 + i$ 上の点を $1 + t i$ と置き、差商と $f^{'} (1 + t i)$ の実部・虚部を比較する。虚部を0にする条件と実部を一致させる条件を同時に満たすかを見る。(3)も線分上の点を $(1 + t i) / 2$ と置き、差商が $- 1$ になることから $7 γ^{6} = - 1$ を仮定し、虚部が0になる候補を絞って実部が合わないことを示す。

解答

(1)

$n = 2$ のとき $f (x) = u x^{2} + v x + w (u \neq = 0)$ とおく。すると $f (β) - f (α) = u (β^{2} - α^{2}) + v (β - α)$ であるから、 $α \neq = β$ より $\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = u (α + β) + v$ である。

一方 $f^{'} (x) = 2 ux + v$ である。ここで $γ = \frac{α + β}{2}$ とおくと、 $γ$ は $α$ と $β$ を結ぶ線分の中点であり、 $f^{'} (γ) = 2 u \cdot \frac{α + β}{2} + v = u (α + β) + v$ である。よってどのような $α, β, f (x)$ も平均値の性質をもつ。

(2)

$α = 1 - i$ , $β = 1 + i$ を結ぶ線分上の点は $γ = 1 + t i (- 1 ≦ t ≦ 1)$ と表される。

まず差商を計算する。

\frac{β ^{3} - α ^{3}}{β - α} = 2, \frac{β ^{2} - α ^{2}}{β - α} = 2, \frac{β - α}{β - α} = 1

であるから $\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = 2 + 2 a + b$ である。

一方 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ だから $f^{'} (1 + t i) = 3 (1 + t i)^{2} + 2 a (1 + t i) + b$ $= 2 a + b + 3 - 3 t^{2} + i (2 a + 6) t$ である。これが実数 $2 a + b + 2$ に等しいための条件は $2 a + b + 3 - 3 t^{2} = 2 a + b + 2$ かつ $(2 a + 6) t = 0$ である。第1式より $t^{2} = \frac{1}{3}$ であるから $t \neq = 0$ である。したがって第2式から $2 a + 6 = 0$ すなわち $a = - 3$ が必要である。

逆に $a = - 3$ なら、 $t = \frac{1}{3}$ または $t = - \frac{1}{3}$ は線分上の点を与え、上の2条件をみたす。 $b, c$ は差商と導関数の一致条件に制限を与えない。よって必要十分条件は $a = - 3$ であり、 $b, c$ は任意の実数である。

(3)

$α = \frac{1 - i}{2}, β = \frac{1 + i}{2}$ である。これはそれぞれ偏角 $- \frac{π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ の絶対値1の複素数であるから $α^{7} = β, β^{7} = α$ である。したがって

\frac{β ^{7} - α ^{7}}{β - α} = \frac{α - β}{β - α} = - 1

である。

線分上の点を $γ = \frac{1 + t i}{2} (- 1 ≦ t ≦ 1)$ とおく。もし平均値の性質をもつなら $f^{'} (γ) = 7 γ^{6} = - 1$ でなければならない。

ところが $γ^{6} = \frac{( 1 + t i ) ^{6}}{8}$ であり、その虚部は $\frac{t ( t ^{2} - 3 ) ( 3 t ^{2} - 1 )}{4}$ である。 $- 1 ≦ t ≦ 1$ で虚部が0になるのは $t = 0, t = \pm \frac{1}{3}$ だけである。 $t = 0$ のとき $γ^{6} = \frac{1}{8}$ であり、 $7 γ^{6} = - 1$ ではない。また $t = \pm \frac{1}{3}$ のときは $γ^{6} = - \frac{8}{27}$ であるから $7 γ^{6} = - \frac{56}{27} \neq = - 1$ である。したがって線分上に条件をみたす $γ$ は存在せず、 $α, β, f (x) = x^{7}$ は平均値の性質をもたない。

九州大学 2021年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2021年度
理系数学前期第4問