九州大学 2020年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

以下の規則にしたがって数直線上を移動する点Aを考える。

（規則）点Aが座標 $x$ にあるとき，表が出る確率が $α$ $(0 < α < 1)$ のコインを投げて，表が出たら $x$ から $\frac{x}{2}$ へ移動し，裏が出たら $x$ から $1 - \frac{x}{2}$ へ移動する。

点Aがはじめに座標0にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を $n$ 回 $(n ≧ 1)$ 繰り返した直後に点Aが座標 $y$ にある」の確率を記号 $P_{n} (y)$ で表す。このとき以下の問いに答えよ。

(1) $P_{1} (y) > 0$ となる $y$ $(0 ≦ y ≦ 1)$ とその確率 $P_{1} (y)$ の組をすべて答えよ。

(2) $y < 0$ または $y > 1$ のとき， $P_{n} (y) = 0$ であることを示せ。

(3) $P_{n} (1)$ を求めよ。

(4) $k$ を自然数とするとき，以下のそれぞれの条件で $P_{n} (2^{- k})$ を求めよ。

(i) $n ≦ k$ のとき

(ii) $n > k$ のとき

出典：九州大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

写像は、表で $x \mapsto \frac{x}{2}$ 、裏で $x \mapsto 1 - \frac{x}{2}$ である。まず $[0, 1]$ がこの操作で保たれることを示す。(3)では1に到達するには直前が0で裏、0に居続けるには表が続くしかないことから求める。(4)は逆向きにたどるのが有効で、 $2^{- k}$ に最後に到達するには、時刻 $n - k$ に1にいて、その次に必ず $\frac{1}{2}$ に移り、さらに表が $k - 1$ 回続く必要がある。回数が足りない場合もこの逆算から判断する。

解答

(1)

はじめ点Aは座標0にある。1回操作した後、表が出れば $0 \mapsto \frac{0}{2} = 0$ であり、裏が出れば $0 \mapsto 1 - \frac{0}{2} = 1$ である。したがって $P_{1} (y) > 0$ となる組は $P_{1} (0) = α, P_{1} (1) = 1 - α$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ とする。このとき表が出た後の座標は $0 ≦ \frac{x}{2} ≦ \frac{1}{2}$ であり、裏が出た後の座標は $\frac{1}{2} ≦ 1 - \frac{x}{2} ≦ 1$ である。したがって、座標が $[0, 1]$ にあれば、次の操作後も必ず $[0, 1]$ にある。

はじめの座標は0で $[0, 1]$ に含まれるので、数学的帰納法により、任意の $n$ 回後の座標も $[0, 1]$ に含まれる。よって、 $y < 0$ または $y > 1$ のとき $P_{n} (y) = 0$ である。

(3)

まず、座標0にいるためには、はじめからずっと表が出続けるしかない。実際、 $1 - \frac{x}{2} = 0$ となるには $x = 2$ が必要だが、(2)より座標は $[0, 1]$ を出ないので、裏によって0へ来ることはない。したがって $P_{n} (0) = α^{n}$ である。

座標1にいるには、直前に座標0にいて裏が出るしかない。 $\frac{x}{2} = 1$ には $x = 2$ が必要であり、 $1 - \frac{x}{2} = 1$ には $x = 0$ が必要だからである。よって $n ≧ 1$ で $P_{n} (1) = (1 - α) P_{n - 1} (0) = (1 - α) α^{n - 1}$ である。したがって $P_{n} (1) = (1 - α) α^{n - 1}$ である。

(4)

(i) $n ≦ k$ のとき。座標 $2^{- k}$ に到達する経路を逆向きに見る。 $2^{- k}$ に到達するには、まずどこかの時刻で1にいて、次の1回で $\frac{1}{2}$ に移り、その後、表による半減を $k - 1$ 回続ける必要がある。したがって、1から $2^{- k}$ までだけでも合計 $k$ 回の操作が必要であり、さらに座標1に初めて到達するには少なくとも1回必要である。よって最短でも $k + 1$ 回かかる。

したがって $n ≦ k$ では回数が足りず、 $P_{n} (2^{- k}) = 0$ である。

(ii)

$n > k$ のとき。上の逆向きの考察を正確に使う。時刻 $n$ に $2^{- k}$ にいるためには、時刻 $n - k$ に1にいる必要がある。そこから次の1回で $\frac{1}{2}$ に移るが、座標1からは $\frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ となるので、表でも裏でも必ず $\frac{1}{2}$ に移る。この1回の確率は1である。その後、 $\frac{1}{2}$ から $2^{- k}$ へ行くには、表が $k - 1$ 回連続して出る必要がある。

したがって

P_{n} (2^{- k}) = P_{n - k} (1) \cdot 1 \cdot α^{k - 1} = (1 - α) α^{n - k - 1} α^{k - 1} = (1 - α) α^{n - 2}

である。よって $P_{n} (2^{- k}) = (1 - α) α^{n - 2}$ である。

九州大学 2020年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(ii)

九州大学 2020年度
後期・理系数学後期第5問