九州大学 2020年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

$|\sin X|$ は周期 $\pi$ をもつ。したがって、任意の整数 $k$ について

である。よって $\boxed{f_n(x)=f_n\left(x+\frac{k}{2n}\right)}$ が成り立つ。

(2)

区間 $\left(\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n}\right)$ を考える。このとき $(k-1)\pi <2n\pi x<k\pi$ である。この区間で $|\sin (2n\pi x)|$ は、左端で0、中央で1、右端で0となる1つの山を作る。より具体的には、前半で単調に0から1へ増加し、後半で1から0へ減少する。

方程式 $f_n(x)=0$ は $|\sin (2n\pi x)|=\frac{1}{\sqrt{5}}$ と同値である。$0<\frac{1}{\sqrt{5}}<1$ なので、この高さは山の前半で1回、後半で1回だけ現れる。したがって、各区間で相異なる2つの解をもつ。

(3)

第 $k$ 区間 $\left(\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n}\right)$ にある2つの解は、その区間の中央 $\frac{2k-1}{4n}$ に関して対称である。したがって、第 $k$ 区間にある2解の和は $2\cdot \frac{2k-1}{4n}=\frac{2k-1}{2n}$ である。

これを $k=1,2,\dots ,2n$ について足すと

である。よって $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{n}=2}$ である。

別解。

$\theta =\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}$ とおくと、$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ である。第 $k$ 区間の2解は $x=\frac{(k-1)\pi +\theta }{2n\pi },x=\frac{k\pi -\theta }{2n\pi }$ である。和は $\frac{(2k-1)\pi }{2n\pi }=\frac{2k-1}{2n}$ となり、上と同じ計算で $S_n=2n$ を得る。