問題
正の定数に対して座標空間内の3点，，を定める。また，平面上の点に対して，線分の中点をとする。ただし，点の座標は正である。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 点は線分上の点とする。定数に対し，点を位置に固定したとき，を最小とする点の座標を求めよ。また，このときのを求めよ。
(2) (1)で求めた点に対して，とのなす角がであることを示せ。
(3) 点はを満たしながら動くとする。(1)で求めた点と3点を頂点とする四面体の体積が最大となる点の座標と，そのときの四面体の体積を求めよ。
方針
と置き、 の中点 を座標で表す。 は 上なので とおけ、距離の二乗は だけを含む平方をもつため最小点がすぐ決まる。(2)はその で の 成分が0になることを利用して内積を調べる。(3)は から を得て、四面体の体積を行列式で と表し、 の最大化に帰着する。
解答
(1)
点Cを とおく。点Aは であるから、線分 の中点 は である。
点 は線分 上にあるので とおける。このとき
である。 を含むのは だけであり、 は に含まれる。したがって最小となるのは のときである。
よって であり、このときの最小値は である。
(2)
(1)で求めた点 に対して であり、 である。したがって内積は である。よって と のなす角は である。
(3)
条件 より、 であるから である。ここで なので すなわち である。
四面体 の体積を求める。3つのベクトル を用いると
である。第3列で展開すると
であるから である。 は正の定数なので、体積を最大にするには を最大にすればよい。条件 より であり、等号は のとき成り立つ。したがって体積が最大となる点Cは であり、そのときの体積は である。