問題
直交座標で表された次の2つの方程式
を定義する。ただし，は正の定数である。
(1) 平面上に式(A)を満たすを図示せよ。
(2) 極座標を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ。
(3) 原点を除くに対しての最大値および最小値を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1)は絶対値を各象限で外すと、4本の線分からなるひし形であることが分かる。(2)は 、 を代入して、式(A)では 、式(B)では とする。(3)は原点からの距離で割ると になるので、、 とおき、 のもとで最大最小を調べる。
解答
(1)
式(A)は である。第1象限では なので の線分である。同様に各象限で絶対値を外すと、頂点 をもつひし形になる。つまり、これら4点を順に結んだ図形が式(A)を満たす点全体である。
(2)
極座標で とおく。ただし である。式(A)は すなわち である。
式(B)は であるから である。
(3)
原点を除く点では であり、 である。ここで とおくと、、、 である。
最小値については であり、等号は または のときに成り立つ。したがって最小値は1である。
最大値については である。等号は のときに成り立つ。したがって最大値は である。
以上より、最大値は であり、最小値は である。