九州大学 2020年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

$h(x)=x-\log x(x>0)$ とおく。すると $h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ である。よって $0<x<1$ で $h^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で $h^{\prime }(x)>0$ となり、$h(x)$ は $x=1$ で最小となる。 $h(1)=1$ であるから、すべての $x>0$ について $x-\log x\geqq 1>0$ である。したがって $\boxed{\log x<x}$ が成り立つ。

(2)

交点の $x$ 座標は $a{x}^n=\log x$ を満たす。$x>0$ であるから、これは $a=\frac{\log x}{x^n}$ と書ける。そこで $\varphi (x)=\frac{\log x}{x^n}(x>0)$ とおく。

微分すると ${\varphi }^{\prime }(x)=\frac{1-n\log x}{x^{n+1}}$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x=e^{1/n}$ で最大となり、その最大値は $\varphi (e^{1/n})=\frac{1/n}{e}=\frac{1}{ne}$ である。また、$0<x<1$ では $\log x<0$ なので $\varphi (x)<0$、$x=1$ で $\varphi (x)=0$、$x>1$ で $\varphi (x)>0$ である。さらに ${\lim }_{x\to \infty }\varphi (x)=0$ である。

よって、水平線 $y=a$ が $y=\varphi (x)$ と異なる2点で交わるのは、正の山の高さより低いとき、すなわち $\boxed{0<a<\frac{1}{ne}}$ である。$a<0$ では $0<x<1$ に1点、$a=0$ では $x=1$ に1点だけなので、2点にはならない。

(3)

(2)の条件のもとで2交点の $x$ 座標を $p<q$ とする。$a>0$ で交わるので、$p,q$ はともに1より大きい。交点条件より $a{p}^n=\log p,a{q}^n=\log q$ である。これらを引くと $a(q^n-p^n)=\log q-\log p$ となる。したがって示すべき不等式は $p<\frac{q-p}{\log q-\log p}<q$ である。 $p<x<q$ では $\frac{1}{q}<\frac{1}{x}<\frac{1}{p}$ である。これを $p$ から $q$ まで積分して $\frac{q-p}{q}<{\int }_p^q\frac{1}{x}dx<\frac{q-p}{p}$ すなわち $\frac{q-p}{q}<\log q-\log p<\frac{q-p}{p}$ を得る。すべて正の量なので逆数を取る向きに注意すると $p<\frac{q-p}{\log q-\log p}<q$ である。ゆえに $\boxed{p<\frac{q-p}{a(q^n-p^n)}<q}$ が成り立つ。