九州大学 2018年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$α$ を複素数とする。等式

α (∣ z ∣^{2} + 2) + i (2 ∣ α ∣^{2} + 1) \overline{z} = 0

を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。ただし， $i$ は虚数単位である。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

まず $α = 0$ を分ける。 $α \neq = 0$ のときは両辺の絶対値をとり、 $A = ∣ α ∣$ 、 $r = ∣ z ∣$ として $r$ の二次方程式を作る。候補 $r = 2 A, 1/ A$ を得たら、元の式に戻して偏角を含む $z$ 自体を決める。一致する場合も最後に確認する。

解答

まず $α = 0$ の場合を調べる。このとき与えられた式は $i \overline{z} = 0$ となるので $z = 0$ である。

以下、 $α \neq = 0$ とする。 $A = ∣ α ∣$ 、 $r = ∣ z ∣$ とおく。与えられた式の両辺の絶対値をとると $A (r^{2} + 2) = (2 A^{2} + 1) r$ である。よって $A r^{2} - (2 A^{2} + 1) r + 2 A = 0$ を得る。これは $(r - 2 A) (r - \frac{1}{A}) = 0$ と因数分解できるので、 $r = 2 A$ または $r = \frac{1}{A}$ である。

元の式から $z$ を決める。式 $α (r^{2} + 2) + i (2 A^{2} + 1) \overline{z} = 0$ より $\overline{z} = \frac{i α ( r ^{2} + 2 )}{2 A ^{2} + 1}$ である。したがって $z = - \frac{i α ( r ^{2} + 2 )}{2 A ^{2} + 1}$ となる。 $r = 2 A$ のときは $\frac{r ^{2} + 2}{2 A ^{2} + 1} = \frac{4 A ^{2} + 2}{2 A ^{2} + 1} = 2$ なので $z = - 2 i \overline{α}$ である。実際、この絶対値は $2 A$ である。 $r = 1/ A$ のときは $\frac{r ^{2} + 2}{2 A ^{2} + 1} = \frac{1/ A ^{2} + 2}{2 A ^{2} + 1} = \frac{1}{A ^{2}}$ なので $z = - \frac{i α}{∣ α ∣ ^{2}}$ である。実際、この絶対値は $1/ A$ である。

以上より、 $α = 0$ のときは $z = 0$ であり、 $α \neq = 0$ のときは

z = - 2 i \overline{α}, z = - \frac{i α}{∣ α ∣ ^{2}}

である。ただし $∣ α ∣^{2} = 1/2$ のときはこの2つは一致するので、解は1つとして扱う。

九州大学 2018年度理系数学 前期 第5問

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九州大学 2018年度
理系数学前期第5問