九州大学 2018年度
理系数学 前期 第1問

解答

双曲線 $C$ 上の点を $P=(u,v,0)$ とおく。このとき $u^2-v^2=1,u\geqq 1$ である。点 $A=(0,0,1)$ と点 $P$ を通る直線上の点は、媒介変数 $\lambda$ を用いて $(0,0,1)+\lambda (u,v,-1)$ と表せる。

この点が平面 $x=d$ 上にあるとき $\lambda u=d$ である。$u\geqq 1$ なので $u\ne 0$ であり、$\lambda =\frac{d}{u}$ となる。交点を $(d,Y,Z)$ と書くと $Y=\frac{dv}{u},Z=1-\frac{d}{u}$ である。

ここで $\frac{v^2}{u^2}=1-\frac{1}{u^2}$ だから $Y^2=d^2\frac{v^2}{u^2}=d^2\left(1-\frac{1}{u^2}\right)$ である。また $Z=1-d/u$ より $\frac{d}{u}=1-Z$ なので $Y^2=d^2-(1-Z{)}^2$ を得る。すなわち $Y^2+(Z-1{)}^2=d^2$ である。

範囲も確認する。$u\geqq 1$ より $d/u$ は $0<d/u\leqq d$ を満たすので $1-d\leqq Z<1$ である。$u=1$ のとき $v=0$ なので点 $(d,0,1-d)$ は含まれる。一方、$Z=1$ は $u=\infty$ に対応する極限であり、実際の点としては含まれない。

したがって求める軌跡は、平面 $x=d$ 上の円 $Y^2+(Z-1{)}^2=d^2$ のうち $1-d\leqq Z<1$ を満たす部分である。