問題
1から4までの数字を1つずつ書いた4枚のカードが箱に入っている。箱の中から1枚カードを取り出してもとに戻す試行を回続けて行う。回目に取り出したカードの数字をとし，積を4で割った余りが0，1，2，3である確率をそれぞれ，，，とする。，，，を求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
積の4で割った余りは、取り出した数字の中に4があるか、2が何回あるか、残りの1と3の積がどうなるかで決まる。余りが1または3になるのは全て奇数のとき、余りが2になるのは2がちょうど1回で残りが奇数のときだけである。最後に全確率から余り0の確率を出す。
解答
全事象は 通りで、各列は同じ確率で起こる。
まず積が奇数になるのは、すべての試行で または が出たときに限られる。このような列は 通りである。そのうち、積を4で割った余りが になるのは、 が偶数回出る場合である。 と だけからなる長さ の列では、 が偶数回出るものと奇数回出るものが同数で、それぞれ 通りである。したがって である。
次に、積を4で割った余りが になる場合を考える。これは、数字 がちょうど1回出て、残りの 回は または である場合に限られる。 の位置は 通り、残りの選び方は 通りなので である。
余りが になる確率は、全体から余り の場合を除けばよい。したがって より である。