問題
原点を中心とする半径3の半円上の2点とに対し，線分をに内分する点をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点の座標との座標が等しく，かつの座標はの座標より小さくなるようにとが動くものとする。このとき，線分が通過してできる図形の面積を求めよ。
(2) 点をに固定する。が半円上を動くとき線分が通過してできる図形の面積を求めよ。
(3) (1)の図形から(2)の図形を除いた図形と第1象限の共通部分をとする。を軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1) は同じ高さの2点を と置き、線分 の横方向の通過範囲を高さ ごとに積分する。(2) は固定点 から、 が描く半円弧への線分全体が半円板になることを示す。(3) は第1象限で と の右端を比較し、 軸回転の washer 型積分を と に分ける。
解答
(1)
条件より、ある を用いて とおける。ただし である。 は となる内分点なので である。したがって高さ を固定すると、線分 は を通過する。よって図形 の面積は
である。半径3の四分円の面積を用いて だから である。
(2)
とし、半円上の点 を とおく。このとき である。したがって は の半円弧上を動く。線分 は左端 からこの半円弧上の点を結ぶ線分であるから、その通過領域 は で表される半円板である。よって面積は である。
(3)
第1象限で図形 の右端は である。一方、図形 の右端は であり、これは で第1象限に現れる。 では となるので、第1象限には が残らない。
したがって を 軸のまわりに回転した体積は
である。すなわち
である。
ここで を用いる。計算すると
また である。よって である。