問題
整数，は3の倍数ではないとし，
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) とを3で割った余りをそれぞれ求めよ。
(2) を満たす整数は存在しないことを示せ。
(3) を満たす有理数が存在するような組をすべて求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
3の倍数でない整数の平方は3で割ると1余ることを使う。(1) は代入して合同式で計算する。(2) は整数解なら定数項から に限られるので直接排除する。(3) は有理根の候補 を調べ、唯一残る の条件を因数分解して を求める。
解答
(1)
は3の倍数ではないので である。したがって である。また である。よって、 と を3で割った余りはそれぞれ である。
(2)
整数解 が存在するとする。 は最高次係数が 、定数項が の整数係数方程式なので、整数解は定数項の約数である。したがって に限られる。
ところが である。また であり、合同式で見ると であるから ではない。よって整数解は存在しない。
(3)
有理数解が存在するとする。有理根の候補は、有理根の定理より である。(2) より は解でない。また
だから も解でない。したがって可能性があるのは だけである。
実際に代入すると
である。これが0となる条件は すなわち である。右辺が3なので、整数の組として を調べればよい。これより を得る。いずれも は3の倍数ではなく、実際に を解にもつ。したがって求める組は である。