問題
2つの関数，をそれぞれ，とする。ただし，は正の実数とする。以下の問いに答えよ。
(1) のグラフとのグラフで囲まれた図形を座標平面上に図示せよ。
(2) のグラフとのグラフで囲まれた図形の面積をの式で表せ。また，面積が最小となると，そのときの面積を求めよ。
(3) のグラフとのグラフで囲まれた図形の面積が最小となるとき，この図形を直線の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
出典：九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
まず2曲線の交点を求め、直線が上、放物線が下になる区間を確認して面積を積分する。面積 は微分で最小化する。最小時 の回転体は、軸 に沿う座標 と軸に垂直な距離を用い、放物線上の点が作る垂直断面の半径を積分する。
解答
(1)
交点は すなわち より である。 なので、 では であり、直線 が放物線 より上にある。したがって図形は、2交点 、 の間で直線を上、放物線を下として囲まれる部分である。
(2)
面積は である。計算すると
である。これを で微分すると となる。したがって は で減少し、 で増加する。よって最小となるのは で、そのとき である。
(3)
のとき、囲まれた図形は である。回転軸は直線 である。
軸方向の座標を とし、軸からの距離を で測る。放物線上の点 について、軸までの距離は である。またこの点の軸方向の座標は であり、 だから、 を用いて軸に垂直な断面を重複なく数えられる。
したがって回転体の体積は であり、 となる。積分を計算すると であるから、 である。