九州大学 2018年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

次で定義される数列 ${I_{n}}$ を考える。

I_{n} = 2 n \int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x cos^{2 n - 1} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

以下の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成り立つことを証明せよ。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(2) 数列 ${I_{n}}$ が次の式を満たすことを証明せよ。

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 n} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(3) $\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x)$ を $sin x$ と $n$ を用いて表せ。

(4) 数列 ${I_{n}}$ が次の漸化式を満たすことを証明せよ。

I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots\dots)

(5) 数列 ${I_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) は $x = π /2 - t$ の置換で $sin$ と $cos$ を入れ替える。(2) は $d (cos^{2 n} x)$ を使って部分積分し、 $I_{n}$ を標準積分に直す。(3)(4) は $cos x sin^{m - 1} x$ の導関数を積分して漸化式を作る。(5) は初項 $I_{1}$ と漸化式の積を中央二項係数の形に整理する。

解答

(1)

$x = π /2 - t$ とおくと、 $d x = - d t$ であり、 $x = 0$ のとき $t = π /2$ 、 $x = π /2$ のとき $t = 0$ である。したがって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x = \int_{\frac{π}{2}}^{0} cos^{n} t (- d t) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} t d t

となり、示された等式が成り立つ。

(2)

$d (cos^{2 n} x) = - 2 n sin x cos^{2 n - 1} x d x$ であるから、定義式は $I_{n} = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d (cos^{2 n} x)$ と書ける。部分積分より

I_{n} = - [x cos^{2 n} x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} x d x

である。端では $cos (π /2) = 0$ かつ $x = 0$ なので境界項は0である。よって $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2 n} x d x$ であり、(1) から $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 n} x d x$ を得る。

(3)

積の微分を用いると

\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x) = - sin^{n} x + (n - 1) cos^{2} x sin^{n - 2} x

である。 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ を代入して $\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x) = (n - 1) sin^{n - 2} x - n sin^{n} x$ となる。

(4)

(3) で $n$ を $2 n$ に置き換えると

\frac{d}{d x} (cos x sin^{2 n - 1} x) = (2 n - 1) sin^{2 n - 2} x - 2 n sin^{2 n} x

である。これを $0$ から $π /2$ まで積分する。左辺の原始関数の値は両端で0なので、

0 = (2 n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 n - 2} x d x - 2 n \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 n} x d x

である。(2) の表し方を用いれば $0 = (2 n - 1) I_{n - 1} - 2 n I_{n}$ となる。したがって $I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1} (n ≧ 2)$ である。

(5)

まず $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x d x = \frac{π}{4}$ である。漸化式を繰り返すと $I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \dots \frac{3}{4} \cdot I_{1}$ である。したがって

I_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots ( 2 n )} \cdot \frac{π}{2}

であり、中央二項係数を用いて $I_{n} = \frac{_{2 n} C _{n}}{4 ^{n}} \cdot \frac{π}{2}$ と表せる。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第1問