問題
を正の実数とする。半径がそれぞれ，，の3つの球，，と，これらすべてに接する平面がある。ただし，3つの球はすべて平面の同じ側で接しているものとする。すなわち，3つの球のそれぞれの中心を結ぶ線分は，いずれも平面と交わらないものとする。3つの球，，と平面との接点をそれぞれ，，とする。空間において，基点を定め，，，とすると，，であり，とのなす角はである。以下の問いに答えよ。
(1) 点を平面上にある点とする。球の中心と点との距離を，球の中心と点との距離をとする。このとき，を最小にする点の位置ベクトルを，，，を用いて表せ。
(2) 3つの球，，の中心を通る平面と，平面との交線をとする。を，，と媒介変数を用いて媒介変数表示せよ。
(3) 点を直線上にある点とする。球の中心と点との距離を最小にする点の位置ベクトルを，，，を用いて表せ。
方針
平面 の同じ側を向く単位法線ベクトルを と置き、各球の中心を接点から半径分だけ 方向へ上げて表す。(1) は平面に関する反射で距離和の最小点を求める。(2) は中心を通る平面 を2変数で表し、 上にある条件から交線を媒介変数表示する。(3) は直線上の点と の中心との距離を二次式として最小化する。
解答
平面 の3つの球がある側を向く単位法線ベクトルを とする。すると3つの球の中心は順に
で表される。
(1)
球 の中心を平面 に関して反対側へ移した点を とすると、その位置ベクトルは である。平面上の点 について、 だから、 を最小にするには、 と の中心を結ぶ線分が平面 と交わる点を取ればよい。
線分上の点を とおく。法線方向の係数は であり、平面 上ではこれが0になるので である。したがって
である。
(2)
平面 は3つの中心を通るので、その上の点は と表せる。この点が平面 上にあるためには、法線方向の係数が0、すなわち であればよい。 とおくと なので、交線 は と媒介変数表示できる。ただし は実数である。
(3)
直線 上の点を とおく。球 の中心は である。 は平面 上にあるので、法線方向の距離 は一定である。したがって、平面 内の成分 の長さを最小にすればよい。 、、なす角が より である。また
である。 の長さの2乗を最小にする は
である。よって
である。