九州大学 2018年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ と虚数単位 $i$ を用いて複素数 $z$ が $z = a + bi$ の形で表されるとき， $a$ を $z$ の実部といい $a = Re z$ と書き表し， $b$ を $z$ の虚部といい $b = Im z$ と書き表す。また $z$ の絶対値を $∣ z ∣$ で表す。以下の問いに答えよ。

(1) 複素数 $u = \frac{5 + 5 3 i}{2 + 2 i}$ を極形式で表せ。

(2) 条件 $Re w ≦ 0$ ， $Im w ≧ 0$ ， $40 ≦ ∣ w ∣ ≦ 135$ を満たす複素数 $w$ 全体のなす領域

D = {w ∣ Re w ≦ 0, Im w ≧ 0, 40 ≦ ∣ w ∣ ≦ 135}

を考える。このとき， $z^{3} u$ が $D$ に属するような複素数 $z$ 全体のなす領域

A = {z ∣ z^{3} u \in D}

を図示せよ。

(3) 複素数 $z$ が領域 $A$ 上を動くとき， $z$ と $- 2$ との距離が最小になるような $z$ を求めよ。解答に極形式を用いてよい。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

まず $u$ の絶対値と偏角を求める。 $z = ρ (cos θ + i sin θ)$ とおくと、 $z^{3} u \in D$ は半径条件 $2 ≦ ρ ≦ 3$ と偏角条件に分かれる。3乗により偏角範囲は3つの扇形になる。(3) は点 $- 2$ に最も近い扇形がどれかを偏角で判定し、半径方向の端点まで確認する。

解答

(1)

分子と分母をそれぞれ極形式で表すと $5 + 53 i = 10 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ $2 + 2 i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ である。したがって絶対値は $10/2 = 5$ 、偏角は $π /3 - π /4 = π /12$ なので $u = 5 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})$ である。

(2)

$z = ρ (cos θ + i sin θ) (ρ ≧ 0)$ とおく。このとき

z^{3} u = 5 ρ^{3} {cos (3 θ + \frac{π}{12}) + i sin (3 θ + \frac{π}{12})}

である。領域 $D$ は第2象限内の半径 $40$ 以上 $135$ 以下の部分であるから、まず半径条件は $40 ≦ 5 ρ^{3} ≦ 135$ すなわち $2 ≦ ρ ≦ 3$ である。

次に偏角については、整数 $k$ を用いて $\frac{π}{2} + 2 k π ≦ 3 θ + \frac{π}{12} ≦ π + 2 k π$ である。したがって

\frac{5 π}{36} + \frac{2 k π}{3} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{36} + \frac{2 k π}{3}

となる。 $0 ≦ θ < 2 π$ で見ると、これは $\frac{5 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{36},$ $\frac{29 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{35 π}{36},$ $\frac{53 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{59 π}{36}$ の3つである。よって $A$ は、原点中心、半径 $2$ と $3$ の円にはさまれた上の3つの扇形部分である。

(3)

点 $- 2$ は極形式で半径 $2$ 、偏角 $π$ の点である。3つの扇形のうち偏角 $π$ に最も近いのは $\frac{29 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{35 π}{36}$ の扇形であり、その右端ではなく $π$ に近い端は $θ = 35 π /36$ である。

この半直線上で $- 2$ に最も近い半径を確認する。 $- 2$ から偏角 $35 π /36$ の半直線への射影の半径は $2 cos (π /36) < 2$ であり、領域では半径が $2$ 以上に限られる。したがって最も近い点は半径 $2$ の端点である。よって求める $z$ は $z = 2 (cos \frac{35 π}{36} + i sin \frac{35 π}{36})$ である。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第2問