九州大学 2018年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

20代が1人もいないとき、各回答者の正しい答えは「いいえ」である。「はい」と答えるのは、さいころで3以上が出てうそを言う場合なので、その確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ である。したがって5人中3人が「はい」と答える確率は

である。

(2)

20代の1人は、正直に答えるときに「はい」と言うので、「はい」の確率が $1/3$ である。20代でない4人は、うそを言うときに「はい」と言うので、「はい」の確率が $2/3$ である。

「はい」が3人になるには、20代の人が「はい」と答えて、残り4人のうち2人が「はい」と答える場合と、20代の人が「いいえ」と答えて、残り4人のうち3人が「はい」と答える場合がある。よって

である。計算して $\frac{24}{243}+\frac{64}{243}=\frac{88}{243}$ となる。

(3)

街頭調査で出会った1人が「はい」と答える確率を求める。20代である確率が $p$、20代でない確率が $1-p$ なので $p\cdot \frac{1}{3}+(1-p)\cdot \frac{2}{3}=\frac{2-p}{3}$ である。したがって5人中3人が「はい」と答える確率は

であり、

となる。

(4)

$q=\frac{2-p}{3}$ とおくと、$0\leqq p\leqq 1$ より $1/3\leqq q\leqq 2/3$ である。(3) の確率は定数倍を除いて $h(q)=q^3(1-q{)}^2$ である。$0<q<1$ で $h^{\prime }(q)=q^2(1-q)(3-5q)$ となるから、$h(q)$ は $q=3/5$ で最大となる。これは $[1/3,2/3]$ に含まれるので、$\frac{2-p}{3}=\frac{3}{5}$ より $p=\frac{1}{5}$ である。