九州大学 2016年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

媒介変数 $x = sin t$ ， $y = t^{2}$ (ただし $- 2 π ≦ t ≦ 2 π$ )で表された曲線で囲まれた領域の面積を求めよ。なお領域が複数ある場合は，その総和を求めよ。

出典：九州大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

$y = t^{2}$ なので、同じ高さ $y$ に対応する媒介変数は $t$ と $- t$ の2つだけである。そのとき $x$ 座標は符号が反対になり、水平断面の幅は $2∣ sin t ∣$ になる。複数の領域があっても、高さごとの横幅を積分すれば総面積を一度に求められる。最後は $0, π, 2 π$ で絶対値を外して計算する。

解答

$y = t^{2}$ であるから、同じ高さにある点は $t = s$ と $t = - s$ に対応する。ただし $0 ≦ s ≦ 2 π$ である。この2点の $x$ 座標は $x = sin s, x = sin (- s) = - sin s$ である。したがって高さ $y = s^{2}$ における横幅は $∣ sin s - (- sin s) ∣ = 2∣ sin s ∣$ である。

また $y = s^{2}, d y = 2 s d s$ である。領域が複数に分かれていても、各高さで曲線に挟まれる横幅を足し合わせれば総面積になるので、求める面積 $S$ は

S = \int_{0}^{(2 π)^{2}} 2∣ sin y ∣ d y = \int_{0}^{2 π} 2∣ sin s ∣ \cdot 2 s d s = 4 \int_{0}^{2 π} s ∣ sin s ∣ d s

である。

$0 ≦ s ≦ π$ では $sin s ≧ 0$ 、 $π ≦ s ≦ 2 π$ では $sin s ≦ 0$ だから $S = 4 (\int_{0}^{π} s sin s d s - \int_{π}^{2 π} s sin s d s)$ である。部分積分により $\int s sin s d s = - s cos s + sin s$ だから $\int_{0}^{π} s sin s d s = π$ である。また

- \int_{π}^{2 π} s sin s d s = [s cos s - sin s]_{π}^{2 π} = 2 π - (- π) = 3 π

である。よって $S = 4 (π + 3 π) = 16 π$ である。

別解。 $sin s$ の符号が変わる $s = 0, π, 2 π$ で領域を分けると、 $0 ≦ s ≦ π$ の部分の面積は $4 π$ 、 $π ≦ s ≦ 2 π$ の部分の面積は $12 π$ である。これらは上下に並ぶ別々の囲まれた領域の面積に対応し、合計して同じく $16 π$ となる。

九州大学 2016年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

九州大学 2016年度
後期・理系数学後期第5問