問題
等式を満たす自然数，のうち，が最小となるときの，の値を求めよ。ただし，は虚数単位である。
出典：九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
両辺を極形式に直し、まず絶対値から の関係を決める。その後、偏角は の整数倍だけずれてよいことを使い、 の最小条件を合同式として調べる。最後に得た組が実際に等式を満たすことも確認する。
解答
である。両辺の絶対値を比較すると であるから である。
次に偏角を比較する。複素数の等式では偏角は の整数倍だけ違ってよいので である。 を代入すると すなわち である。したがって は6の倍数でなければならない。 が最小となるのは のときで、このとき である。実際、絶対値はともに 、偏角は左辺が 、右辺が で、差は であるから等しい。
よって である。
別解。絶対値から までは同じである。すると問題は と見ることもできる。 なので、左の括弧は絶対値1、偏角 の複素数である。したがって が の整数倍となる最小の自然数は で、同じく を得る。