九州大学 2016年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

正の実数 $a$ ， $b$ に対して $A (a, b) = \frac{a + b}{2}$ ， $G (a, b) = ab$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $min (a, b) ≦ G (a, b) ≦ A (a, b) ≦ max (a, b)$ が成り立つことを示せ。
ただし， $min (a, b)$ は $a$ ， $b$ のうちの最小の数を表し， $max (a, b)$ は $a$ ， $b$ のうち最大の数を表す( $a = b$ の場合は $a$ ， $b$ のうちのどちらかの数を表すとする)。

(2) $a > b$ ， $a_{0} = a$ ， $b_{0} = b$ として，以下の数列を定義する。

a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}, b_{n + 1} = a_{n} b_{n}, c_{n + 1} = \frac{a _{n} - b _{n}}{2}, n = 0, 1, 2, \dots

このとき数列 ${a_{n}}$ と数列 ${b_{n}}$ は同じ極限値( $α$ とする)に収束することを示せ。

(3) $a_{n + 2}$ を $a_{n}$ と $b_{n}$ を用いて表せ。ただし ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ は(2)で定義した数列とする。

(4) $c_{n + 2}$ と $c_{n + 1}$ の間に以下の関係が成り立つことを示せ。ただし， ${c_{n}}$ と $α$ はそれぞれ(2)で定義した数列と極限値とする。

c_{n + 2} < (\frac{1}{2 α} c_{n + 1})^{2}

出典：九州大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は相加平均・相乗平均の基本不等式を、最大値・最小値との大小まで含めて示す。(2)では(1)を各段に適用し、 $a_{n}$ が単調減少、 $b_{n}$ が単調増加で、互いに挟み合うことから同じ極限へ向かうことを示す。(3)(4)は平方根を使って差を平方の形に直し、 $c_{n + 2}$ を $c_{n + 1}$ と $a_{n + 2}$ の式に変形する。

解答

(1)

$a ≧ b$ として示せば十分である。このとき $min (a, b) = b, max (a, b) = a$ である。まず $a ≧ b > 0$ より $b^{2} ≦ ab$ なので $b ≦ ab = G (a, b)$ である。また $(a + b)^{2} - 4 ab = (a - b)^{2} ≧ 0$ より $ab ≦ \frac{a + b}{2} = A (a, b)$ である。さらに $\frac{a + b}{2} ≦ a$ も明らかである。よって $min (a, b) ≦ G (a, b) ≦ A (a, b) ≦ max (a, b)$ が成り立つ。 $b ≧ a$ の場合も同様である。

(2)

$a_{0} > b_{0} > 0$ である。(1)を $a_{n}, b_{n}$ に適用すると $b_{n} ≦ b_{n + 1} ≦ a_{n + 1} ≦ a_{n}$ である。したがって ${a_{n}}$ は下に有界な単調減少列、 ${b_{n}}$ は上に有界な単調増加列である。よってそれぞれ極限をもつ。これらを $lim_{n \to \infty} a_{n} = A, lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ とおくと、上の不等式から $A ≧ B$ である。

漸化式 $a_{n + 1} = (a_{n} + b_{n}) /2$ の両辺で極限をとると $A = \frac{A + B}{2}$ である。したがって $A = B$ である。よって2つの数列は同じ極限値に収束する。この共通の極限値を $α$ と書く。

(3)

定義より

a_{n + 2} = \frac{a _{n + 1} + b _{n + 1}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{a _{n} + b _{n}}{2} + a_{n} b_{n})

である。したがって $a_{n + 2} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) ^{2}}{4}$ である。

(4)

まず

c_{n + 2} = \frac{a _{n + 1} - b _{n + 1}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{a _{n} + b _{n}}{2} - a_{n} b_{n})

であるから $c_{n + 2} = \frac{( a _{n} - b _{n} ) ^{2}}{4}$ である。一方、

c_{n + 1} = \frac{a _{n} - b _{n}}{2} = \frac{( a _{n} - b _{n} ) ( a _{n} + b _{n} )}{2}

である。よって $c_{n + 2} = \frac{c _{n + 1}^{2}}{( a _{n} + b _{n} ) ^{2}}$ となる。

(3)より $(a_{n} + b_{n})^{2} = 4 a_{n + 2}$ である。また ${a_{n}}$ は $α$ に単調減少で近づくので、各 $n$ について $a_{n + 2} > α$ である。したがって $(a_{n} + b_{n})^{2} = 4 a_{n + 2} > 4 α$ である。以上より

c_{n + 2} = \frac{c _{n + 1}^{2}}{( a _{n} + b _{n} ) ^{2}} < \frac{c _{n + 1}^{2}}{4 α} = (\frac{1}{2 α} c_{n + 1})^{2}

が成り立つ。

九州大学 2016年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2016年度
後期・理系数学後期第4問