問題
座標空間内に点，点，点がある。また，ベクトルに平行で点を通る直線，ベクトルに垂直で点を通る平面がある。平面は直線を含んでいる。以下の問いに答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) とをそれぞれの式で表せ。
(3) 平面が線分と線分の両方と共有点をもち，の面積を2等分するときのの値を求めよ。
方針
平面が直線を含む条件は、法線ベクトルが直線の方向ベクトルと垂直であること、さらに直線上の点 が平面上にあることの2つで表す。(3)では平面と の交点をそれぞれパラメータ で表し、 の線分条件を必ず確認する。面積二等分条件から候補の を出したあと、その候補が線分条件を満たすかまで照合する。
解答
(1)
である。外積は であり、その大きさは である。したがって である。
(2)
平面 の法線ベクトルは であり、直線 の方向ベクトルは である。平面 が直線 を含むので、まず である。よって である。
また、直線 上の点 は平面 上にある。平面は点 を通り、法線ベクトルが であるから である。すなわち なので である。したがって である。
(3)
線分 上の点を とおく。 が平面 上にある条件に、(2)の を代入すると である。これを解くと である。ただし のときはこの式の分母が0になり、実際に上の方程式は成り立たないので、線分 との共有点をもたない。
次に、線分 上の点を とおくと、 が平面 上にある条件は である。よって である。ただし のときも線分 との共有点をもたない。
平面が線分 と線分 の両方と共有点をもち、交点を とすると、切り取られる三角形 は三角形 と相似で、面積比は である。面積を2等分するには が必要である。ここで だから、 となる。整理すると すなわち である。したがって候補は である。
しかし、これらは線分条件を満たさない。まず のとき、 で分母 は正であるが、 なので である。したがって交点は線分 上にない。
次に のとき、 である一方、 なので である。したがって交点は線分 上にない。
よって、問題文の条件をすべて同時に満たす は である。