問題
箱の中に，白色の球が個，青色の球が個，赤色の球が個入っている。それぞれの色の球には1からまでの番号が重複なく書かれている。ただしのときは，それぞれ番号1が書かれた白球，青球，赤球が1個ずつ入っているとする。箱から球を1個取り出して箱に戻すことを3回行う。以下の問いに答えよ。
(1) とする。取り出された球のうち少なくとも1個の番号が3であるとき，取り出された3個の球の番号の合計値が9である条件つき確率を求めよ。
(2) とする。取り出された球のうち少なくとも1個は1が書かれた赤玉であるとき，取り出された3個の球がすべて赤玉である条件つき確率をの式で表せ。
(3) とする。(2)で求めたの最小値を求めよ。
(4) とする。(2)で求めたについて，を求めよ。
方針
条件付き確率は、同じ大きさの順序つき試行結果を数えて求める。(1)では色は分子・分母で同じだけ掛かるので番号だけを数え、和が9で少なくとも1つが3となる順序つき三つ組を に分ける。(2)では「赤の1番」という特定の球を少なくとも1回含む事象を補集合で数え、(3)(4)は得られた有理式の差と最高次の係数を見る。
解答
(1)
番号だけに注目する。3回の取り出しで得られる番号の順序つき三つ組のうち、少なくとも1つが3であるものは 通りである。色の選び方は各回3通りずつあるが、分子にも分母にも同じく 倍がかかるため、条件付き確率では打ち消し合う。
次に、番号の和が9で少なくとも1つが3である三つ組を数える。ある1つの位置を3に固定すると、残り2つの番号の和は6である。
のとき、残り2つは しかないので、三つ組は の1通りである。
のとき、和が6となる残り2つは である。3の位置の選び方を考えると一度は9通りと数えられるが、 が重複して数えられる。包除原理により 通りである。
のとき、和が6となる残り2つは である。3の位置を指定した数え上げと、 の重複補正により 通りである。
したがって求める条件付き確率は
である。
(2)
3回の取り出しを順序つきで数える。全体では各回 通りである。赤の1番の球を少なくとも1回含む取り出し方は、補集合を使って 通りである。
そのうち3個とも赤玉で、かつ赤の1番を少なくとも1回含むものは、赤玉だけに限って番号を数えればよい。したがって 通りである。よって である。
(3)
(2)の式について差を調べる。 である。 では分母は正であり、分子も だから、 である。よって は で単調に増加し、最小値は のときである。 したがって が最小値である。
(4)
最高次の係数を比較すれば
である。
別解。(2)の分母は、赤の1番が出ない3回の列を全体から除くと見るのが最短である。一方、分子は「全て赤」の世界に制限したうえで、赤の1番が出ない列を除けばよい。つまり と直接書け、同じ式に整理される。