問題
座標平面上の直線と点を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 直線上を動く点をとする。点を，線分と線分の長さが等しく，かつ線分が軸と平行となるように定める。このとき，点の軌跡を求めよ。
(2) を実数とする。点を通り，傾きがの直線を考える。直線と軌跡の交点が2つあることを示し，それぞれの座標を求めよ。ただし，2つの交点をとし，点の座標が点の座標より小さいとする。
(3) 点における軌跡の接線をそれぞれ，とする。接線は互いに垂直であることを示せ。
(4) 接線の交点を通り，軸に平行な直線をとする。直線は線分と，点とは異なる点で交わることを示せ。また，軌跡，直線，直線によって囲まれる図形のうち，直線の左側にある部分の面積をとし，右側にある部分の面積をとする。このとき，との比を求めよ。
方針
(1) は放物線の定義そのもので、点 とおき、垂線の足 との距離と焦点 との距離を等置する。(2) は直線と放物線を連立し、判別式が常に正であることから2交点を求める。(3) は放物線の接線の傾き を使う。(4) は2接線の交点の 座標が2交点の 座標の平均になることを計算し、相対座標 で弦と放物線の差が偶関数になることから面積比を出す。
解答
(1)
点 の座標を とおく。線分 が 軸と平行で、 は直線 上にあるので である。したがって である。求める点では であり、 だから である。よって である。両辺は非負であり、2乗して を得る。展開すると であり、 である。したがって軌跡 は である。
(2)
直線 と を連立すると である。両辺を6倍して すなわち を得る。この2次方程式の判別式は であるから、任意の実数 に対して2つの異なる実数解をもつ。
解の公式より である。 座標が小さい方を 、大きい方を とするので、 である。
(3)
であるから、 上の点の 座標を とすると、その点における接線の傾きは である。
点 の 座標は であるから、接線 の傾きは である。点 における接線 の傾きは である。これらの積は である。したがって接線 は互いに垂直である。
(4)
放物線 の における接線は である。 の 座標をそれぞれ とする。2本の接線の交点の 座標は
を解けばよい。 なので、 より である。
ここで なので である。したがって直線 は である。
また、線分 は直線 上の線分であり、 の 座標は をはさんでいる。したがって は線分 と、端点ではない点で交わる。
次に面積比を求める。 とおく。直線 と放物線 の差は
である。これは の偶関数である。さらに交点は に対応する。したがって、直線 の左側の面積と右側の面積は であり、被積分関数が偶関数で積分区間が左右対称なので である。よって求める比は である。