九州大学 2015年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

チームAが勝つ確率は $q$、Bが勝つ確率は $1-q$ である。ルール1でAが優勝するのは、次のいずれかである。

1つ目は、Aが最初の2試合に連勝する場合で、確率は $q^2$ である。2つ目は、最初の2試合を1勝1敗で終え、3試合目にAが勝つ場合である。最初の2試合の勝敗は $AB,BA$ の2通りであり、それぞれ確率は $q(1-q)$ である。したがってこの場合の確率は $2q(1-q)\cdot q=2q^2(1-q)$ である。

よって $\boxed{P_1(q)=q^2+2q^2(1-q)=q^2(3-2q)}$ である。

(2)

ルール2では、直前の試合でどちらが勝ったかを状態として考える。直前にAが勝っている状態から、最終的にAが優勝する確率を $X$ とする。また、直前にBが勝っている状態から、最終的にAが優勝する確率を $Y$ とする。

直前にAが勝っている状態で次にAが勝てば、Aが2連勝して優勝する。その確率は $q$ である。次にBが勝てば、直前にBが勝っている状態へ移る。したがって $X=q+(1-q)Y$ である。

直前にBが勝っている状態では、次にBが勝てばBが優勝してAは優勝しない。次にAが勝てば、直前にAが勝っている状態へ移る。したがって $Y=qX$ である。

これらを連立して $X=q+(1-q)qX$ より $\{1-q(1-q)\}X=q$ である。すなわち $X=\frac{q}{1-q+q^2}$ である。また $Y=\frac{q^2}{1-q+q^2}$ である。

最初の1試合でAが勝つ確率は $q$、Bが勝つ確率は $1-q$ であるから、

である。

(3)

(1), (2)より $P_1(q)-P_2(q)=q^2(3-2q)-\frac{q^2(2-q)}{1-q+q^2}$ である。通分すると

である。 $0<q<1$ において、$q^2>0$、$(q-1{)}^2>0$、また $1-q+q^2={\left(q-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ である。したがって $P_1(q)-P_2(q)$ の符号は $-(2q-1)$ の符号と同じである。よって $P_1(q)\geqq P_2(q)$ となる条件は $2q-1\leqq 0$ であり、$0<q<1$ と合わせて $\boxed{0<q\leqq \frac{1}{2}}$ である。

別解。ルール2の $P_2(q)$ は、勝敗列の最後に初めて同じ文字が2つ続くと考えても求められる。Aが優勝する列は、最後が $AA$ で、その直前までは勝者が交互に現れる。長さ2で終わる列は $AA$、長さ3で終わる列は $BAA$、長さ4で終わる列は $ABAA$、長さ5で終わる列は $BABAA$ である。このように確率は $q^2+(1-q)q^2+q(1-q)q^2+(1-q)q(1-q)q^2+\cdots$ となる。これは $q^2\{1+(1-q)\}\{1+q(1-q)+q^2(1-q{)}^2+\cdots \}$ であり、等比級数の和を用いると $P_2(q)=q^2(2-q)\cdot \frac{1}{1-q(1-q)}=\frac{q^2(2-q)}{1-q+q^2}$ を得る。