問題
座標空間における直方体において，点，，，の座標をそれぞれ，，，，点，，，の座標をそれぞれ，，，とする。また，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとする。ただし，，である。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 線分と平面の交点をとし，ベクトル，，をそれぞれ，，としたとき，ベクトルを，，，，で表せ。
(2) 平面に対して垂直なベクトルを求めよ。ただし，その成分は1とする。
(3) ベクトルが平面に対して垂直となるとき，をで表せ。
方針
を基底として、各点の位置を係数で表す。平面 上の点は の重み付き平均で表せるので、 上の点 と係数比較して を求める。法線ベクトルは平面上の2方向 に垂直なベクトルとして計算する。最後は が法線ベクトルと平行になる条件から と の関係を出す。
解答
とおく。座標で見れば である。
(1)
点 は線分 を に内分するので である。また点 は線分 を に内分する。 は から見て 、 は の位置にあるから、 である。 は線分 上にあるので、ある実数 を用いて と書ける。
一方、 は平面 上にある。平面 上の点は、実数 で を満たすものを用いて と表せる。したがって、 の係数を比較すると である。よって となる。したがって である。
ゆえに である。
(2)
平面 上の2方向ベクトルとして と を取る。
求める垂直ベクトルを、 成分が1であることから とおく。これが に垂直である条件は すなわち であり、 を得る。また に垂直である条件は すなわち である。よって である。
したがって求めるベクトルは である。
(3)
(1)より、 の向きは の向きと同じである。これが平面 に垂直になるには、(2)の法線ベクトル と平行であればよい。
第1成分と第3成分を見ると、 となる必要がある。第2成分を比較して である。したがって である。ただし、もとの条件 を満たすためには すなわち である必要がある。